CHAPITRE XIV. — EQUATIONS DE LAGRANGE

De même, en appelant cls^ et ds^ les arcs des deux courbes G2 et C;j,

suivant lesquelles se coupent les surfaces ^i=:const., ^3=const., et = eonst., = const., on a

Un arc quelconque ds peut être alors envisagé comme la diagonale du parallélépipède rectangle dsx, ds^, ds^.

La quantité T a pour expression

et les équations de Lagrange sont alors aisées à écrire. Nous ne les écrirons pas ici : nous nous bornerons à donner la signification des seconds membres Qi, Q2, Q3 de ces équations.

Décomposons la force F en trois composantes Fi, F2, F3, respectivement tangentes aux courbes Ci, G2, G3, en comptant ces composantes positivement dans le sens dans lequel se déplace le point M sur chacune de ces courbes, quand on fait croître une seule des coordonnées elliptiques, les deux autres restant consiantes. Imprimons au point M un déplacement virtuel o^i dans lequel q^ et q-^ restent constants, q^ croissant de 09^1 ; le travail virtuel de F est Qi 09^1 d'une part; d’autre part, il est, puisque les travaux de F2 et de F3 sont nuis dans le déplacement considéré,

Fig. 172.

on a donc

de même

F» /Ma

^87. Coordonnées elliptiques dans le plan des æy. — On peut déduire ces coordonnées des formules précédentes. Pour obtenir un point M du plan ccOy, il suffit de faire dans ces formules .s = o et ^3 = c. Ce point M est alors défini par les deux coordonnées elliptiques qi et ^2» racines de l’équation du second degré en X

représentant des coniques liomofocales. Par chaque point M du plan, il passe deux de ces coniques, une hyperbole correspondant à la valeur qi du paramétre X et une ellipse correspondant à la valeur q^^. L’identité (2) devient dans ce cas

— I = — — — ga)

On obtient ainsi, soit directement, soit comme cas limites des formules précédentes, pour les formules de transformation de coordonnées,

{.a — q,){a — q=>) {h-q,){b-qy,

et pour le carré ds"*- d’un élément d’arc dans le plan xOy

ds^-= 7 (Ni N, dq'},),

Enfin, si l’on décompose la force F agissant sur un point M du plan a? O^ en deux eomposantes Fi et F2 dirigées tangentiellement à l’hyperbole et à