CHAPITRE XV
PRINCIPE DE d’ALEMBERT, ETC.
quelconques, il suffit d’exprimer qu’il j a équilibre entre lonles les forces ap|diquées au |)oint et la force d’inertie. On exprimera cet équilibre par les inélbodes de la Statique. On pourra, entre autres, appliquer le ihéorème du travail virtuel; pour cela, il faudra distinguer, parmi les forces appliquées au point, les forces données et les forces de liaison : appelons X, Y, Z les projections de la jésultante des forces données.
Pour écrire qu’il y a équilibre entre les forces agissant sur le point et la force d’inertie, il suffît d’écrire que, pour tous les déplacements virtuels o.r:, oy, oz compatibles avec les liaisons existant à l’instant t, la somme des travaux des forces données (X, Y, Z) et
de la force d’inertie ( — est nulle :
\ dt^ dV- )
~dF
ox -4-
dr- /
oy 4-
dt^ )
Trois cas sont à distinguer :
Point libre. — oy, ùz sont arbitraires; si l’on emploie un système quelconque de coordonnées ^,5, comme au
n° 282, on a, en faisant varier , r/2, de 0^,, 0^2?
^ Ox ^ Ox ^ Ox
OÙ 0^,, oq-2i sont arbitraiies.
En substituant dans (2) et écrivant que le résultat est nul, quels que soient 0^,, 0^25 0^35 O'i a les équations du mouvement sous la forme du n" 282, qui nous a conduit aux équations de Lagrange pour un [loint libre.
2° Point sur une surfaee. — Soit
fix, y, .5, t)^o
l’équation de la surface supposée mobile pour plus de généralité. En donnant à t une valeur déterminée, on voit que o.î?, oy, Zz sont assujettis à la condition
<>/ . àf ^ Of ^
— — Ctx — — — oy -1- 0,5 =: O,
Ox ôy (Jz
qui exprime que le déplacement virtuel est compatible avec la liaison telle qu’elle existe à l’instant t. Si l’on exprime les coor-
données d’im point de la surface en fonction de deux paramètres comme au n° 263, on a
^ dx dx ^
et la relation (2) doit avoir lieu quels que soient 3^, et 0^2 5 on obtient ainsi les équations du mouvement sous la forme (4) du
Point sur une courbe. — Soient
les équations de la courbe; 8.2;, oy^ 3^ sont assujettis aux deux conditions
df ^ ôf ^ df ^
-f- 0,27 -1- -f- 01/ -h ÙZ — O,
dx ôy dz
àP
dx
àfy
dy
ojK
Supposons qu’on ait exprimé les coordonnées d’un point de la courbe en fonction d’un paramètre,
le déplacement le plus général sur la courbe dans la position qu’elle occupe à l’instant t s’obtient en faisant varier q de 3^. On a alors
O dx ^ - ér - dz ^
0^=-0î, or=5^Sî,
et l’équation (2) devient, après suppression du facteur 3<^,
f(P-x dx d^y dy z dz\ __ dx dy dz
^ \ dr- dq dV^ dq dP- dq) ' dq^ dq~^ dq’
équations dont nous avons déduit l’équation de Lagrange ( n° 2o9 ) .
289. Remarque sur la force d’inertie. — Soit un point matériel soumis à l’action des forces Fj, Fg, . . ., F;^ et placé dans certaines conditions initiales : il prend un certain mouvement. Dans une deuxième expérience, supprimons les forces Fi, F2, ..., F^j, prenons le point matériel dans la main et imprimons-lui avec la main le même mouvement. L’action de la main sur le point est alors à chaque instant t égale à la résultante R des forces Fl, Fg, . . . , F/j qui agissaient dans la première expérience, ou à mJ,
