CHAPITRE XV. — PR(NCIPE ÜE D ALEMÜERT, ETC

J désignant l’accélération; donc, d’après le principe de l’égalité de l’action et de la réaction, la pression du point sur la main est à chaque instant égale et opposée à R ou à J : cette pression est donc égale à la force d’inertie, mais il faut bien remarquer que cette pression est une force agissant sur la main et non sur le point.

290. Principe de la moindre action. — Ce principe s’applique au mouvement d’un point sollicité par une force dérivant d’une fonction de forces, le point étant libre ou assujetti à glisser sur une surface fixe : il permet de résumer les équations du mouvement en écrivant que la variation d’une certaine intégrale est nulle. Nous indiquerons dans le deuxième Volume d’autres principes appelés principe d’ Hamilton, principe de Gauss, c|ui s’appliquent à des cas plus étendus. Le principe de la moindre action a été indiqué par Maupertuis; on en trouve un exemple dans le Mémoire d’Euler, De inotu proj ectorum ; Laplace, Lagrange, Poisson l’ont exposé sous une forme sujette à des objections; c’est Jacobi qui, le premier, l’a énoncé d’une façon précise. On trouvera dans les Sitzungsberichte de l’Académie de Berlin (1887) un important article de M. de Helmholtz sur l’histoire du principe de la moindre action.

Point libre. — Un point libre étant sollicité par des forces dont la résultante dérive d’une fonction de forces U(r, y. z). l’intégrale des forces vives donne

(1) 2[U(a?, jK, 2) H- *J, mvl = yo, Zç^) h].

Dans le principe de la moindre action, on ne compare entre eux que des mouvements pour lesquels la constante h a la même valeur. Ainsi, dans tout ce qui suit, h est une constante déterminée : on pourra donc choisir arbitrairement la position initiale jPo, ^0 du mobile; la vitesse initiale sera déterminée en grandeur (non en direction) par la seconde des relations (i). Il va de soi que les positions du mobile et les courbes que nous allons considérer sont toutes situées dans la région de l’espace où

U(æ, y, z)-hh

est positif.

Soient deux points fixes A et B. Tait et Thomson appellent action le long d’une courbe G joignant ces deux points l’intégrale

(2) -h h) ds,

OÙ nous écrivons U pour U(a7, jk, z). Cette intégrale est supposée prise le long de la courbe G dont l’élément d’arc est appelé ds. Le principe peut alors s’énoncer comme il suit :

Les courbes joignant les deux points fixes X et ^ et possédant cette propriété que la variation de l'action est nulle, quand on passe de

l’une de ces courbes à toute courbe infiniment voisine de mêmes extrémités, sont Les trajectoires que décrit naturellement le mobile quand on le lance de l’un des points fixes dans une direction telle qu’il atteigne l’autre.

On peut encore dire que Von doit choisir entre les trajectoires allant de X en quand on cherche, parmi toutes les courbes joignant ces deux points, les courbes le long descjuelles l’action est minimum. Car, pour trouver ces courbes, il faut commencer par égaler à zéro la variation de l’action.

Pour établir cette proposition, remarquons que l’intégrale cRa est de la forme / 'of x, y, z') ds, où

(3) y, z)^sj‘i(\é^h).

Pour obtenir les équations différentielles des courbes pouvant rendre ofb minimum, il suffit donc d’appliquer les équations (3) du n° 146, en y remplaçant O par la valeur actuelle (3). Nous obtenons ainsi pour les courbes cherchées les équations différentielles

dU ds

avec deux équations analogues. Prenons une variable auxiliaire t définie par la relation

\/ m ds v/'2(U + h)'

les équations différentielles (4) des courbes pouvant rendre cvRo minimum deviennent

d-x dp d^y dU cVz dp

dV ôx dt- âj' dt- ôz

Ce sont les équations dn mouvement du point libre : l’équation (5) est en outre l’équation des forces vives dans laquelle la constante des forces vives a la valeur particulière h. Le théorème est donc démontré.

Ainsi, c’est parmi les trajectoires allant de A en B qu’il faut chercher les courbes qui donnent pour Faction un minimum relatif, c’est-à-dire une A^aleur plus petite que le long de toute courbe infiniment voisine. La question de savoir si une trajectoire déterminée joignant les deux points A et B donne effectivement un minimum relatif pour Ay n’a pas d’importance au point de vue du principe lui-méme; elle est analogue à la question de savoir si, sur une surface donnée, une ligne géodésique, joignant deux points fixes de la surface, fournit effectivement un minimum relatif pour la distance des deux points sur la surface (voir Darboux, Théorie des