CHAPITRE XV. — PRINCIPE DE D ALEMBERT, ETC

surfaces, 3® Partie, Ghap. V). Gomme le coefficient de ds dans Jlo est positif, l’action est toujours positive et il existe certainement des courbes allant de A en B le long desquelles a lieu un minimum relatif pour JG; ces courbes sont constituées par des trajectoires : il existe même entre A et B une courbe donnant un minimum absolu; cette dernière courbe, étant nécessairement formée d’arcs donnant chacun séparément un minimum relatif, est composée d’arcs de trajectoires.

Il n’y a pas de courbe donnant pour JG un maximum relatif, car, une courbe quelconque G étant tracée de A en B, on peut toujours trouver une courbe G’ infiniment voisine, le long de laquelle l’action est plus grande que le long de G; il suffit de prendre pour G' une sorte de sinusoïde à oscillations infiniment petites dans le voisinage de G.

Point sur une surface. — Soit de même, sur une surface fixe S, un point sollicité par une force dérivant de la fonction z). On aura

encore l’intégrale des forces vives (i) et l’on comparera entre eux les mouvements qui se font sur la surface, h ayant une valeur déterminée. On a alors le théorème suivant ;

Les courbes tracées sur la suif ace entre deux points fixes A B, et possédant cette propriété que la variation d.e l’action est nulle quand on passe de l’une de ces courbes à toute courbe infiniment voisine tracée sur la surface entre les mêmes points, sont les trajectoires du mobile joignant ces deux points.

On a donc à choisir parmi ces trajectoires quand on cherche les courbes allant de A en B sur la surface, le long desquelles l’action est minimum.

Pour le démontrer il suffit d’appliquer au cas de cp = v^2(U -t- A) les équations que nous avons données (n" 149) pour les courbes situées sur

une surface et rendant J cp ds minimum. Ges équations se transforment

immédiatement, comme plus haut, en celles du mouvement du point sur la surface, la constante des forces vives étant h.

Par exemple, si le point n’est sollicité par aucune force (U = o), les trajectoires sont les courbes qu’on trouve en cherchant à rendre mini- (B)

mum l’intégrale / fihds, c’est-à-dire en cherchant les lignes les plus

courtes de A en B sur la surface. On trouve donc des lignes géodésiques (n° 270).

Plus généralement, le problème de la recherche des trajectoires d’un point sur la surface S, la fonction des forces étant U, est identique au problème de la recherche des lignes géodésiques d’une autre surface S'. En effet, imaginons une surface auxiliaire S' dont l’élément linéaire soit donné par

ds'^— 2 (U -h A) ds^,

ds étant l’élément linéaire de S; la recherche des trajectoires sur S est

ramenée à la recherche des courbes rendant J ds’ minimum, c’est-à-dire à

la recherche des lignes géodésiques de S'.

Si nous revenons pour un instant au cas d’un point libre sollicité par une force dérivant d’une fonction de forces, nous voyons que, en vertu du principe de la moindre action, le problème de la détermination des trajectoires du point est une extension au cas de trois variables du problème des lignes géodésiques.

Nous n’entrerons pas dans plus de détails sur cette théoi'ie qui relève de la Géométrie plus que de la Mécanique, et nous renverrons le lecteur aux Leçons sur la Théorie des surfaces de M. Darboux, 2® Volume, Chapitres VI et VIII.

Nous reviendrons d’ailleurs sur ce principe en Mécanique analytique.

EXERCICES

1. Formules de Tait et Thomson. — Si l’on prend deux trajectoires infiniment voisines AB et A^Bj, la variation de l’action quand on passe de la première à la seconde est

8oAd =: — v^2 ( Ua-1- A) . AAj cos AjAB — \/2 (Ub-H Aj.BBj cosB^BA,

Ua et Ub désignant les valeurs de U en A et B [cette formule est celle qui a été établie n" 147, sauf le changement de cp en y/a ( U -h A)].

2. Théorème de Tait et Thomson (n° 147, 2®). — Si des différents points Mj d’une surface S on lance des mobiles identiques normalement à cette surface, la fonction de forces étant U pour chacun d’eux et la constante des forces vives A, et si sur chaque trajectoire on prend un arc M^Mj, tel que l’action de Mq en M, le long de cette trajectoire ait une valeur déterminée, la même sur toutes les trajectoires, le lieu des points Mj est une surface Sj normale aux trajectoires. On obtient un cas particulier important du théorème en supposant la surface S réduite à une sphère de rayon nul : les mobiles partent alors tous d’un point déterminé avec une vitesse de grandeur déterminée, mais dans des directions variables.

Il est évident que, s’il s’agit d’un mouvement plan ou d’un mouvement sur une surface, on aura le même énoncé en remplaçant les surfaces S et Sj par des courbes.

Si U = O, ces théorèmes donnent les théorèmes classiques relatifs aux surfaces parallèles ou aux courbes parallèles sur une surface.

3. Propriété analogue à celle des développées. — Si l’on considère des trajectoires AB normales en A à une courbe fixe et tangentes en B à une autre courbe D, on a, en appelant A' B' et A"B" deux positions de la trajectoire, le théorème suivant : L’action le long de l’arc A" B" égale l'action le long de l’arc A' B’ plus l’action le long de l’arc B' B" de la courbe enveloppe D.

Le même théorème a lieu dans le mouvement d’un point sur une surface pour les trajectoires normales à une courbe fixe.