CHAPITRE XV. — PRINCIPE DE d’ALEMBERT, ETC

Si U = 0, ces théorèmes donnent les théorèmes classiques relatifs aux développées.

4. Appliquer le principe de la moindre action au mouvement d’un point pesant dans le vide dans un plan vertical ( n° /ig. 137). L’action est alors

Soient dans le plan deux points dont l’un est l’origine 0, l’autre un point M,. La courbe qui donne l’action minimum de O en M, est l’une des trajectoires que suit le mobile pesant lancé de O avec la vitesse \j2h de telle façon qu’il atteigne Mj. Si Mj est dans la parabole de sûreté, enveloppe des trajectoires issues de O, il existe deux trajectoires de O en M^. Démontrer que le minimum relatif a lieu le long de celle des paraboles par laquelle le mobile arrive en Mj avant d’avoir touché la parabole de sûreté (sur la figure 187, c’est la parabole inférieure) (règle donnée par Jacobi). Si Mj est suffisamment près de O, l’arc OMj de la parabole inférieure donne même le minimum absolu de l’action, mais il ne le donne plus quand Mj est voisin de la parabole de sûreté. Aussi, quand Mj est sur la parabole de sûreté, en A par exemple, la trajectoire OA donne encore le minimum relatif de l’action, mais non le minimum absolu : c’est ce qu’on démontrera en s’appuyant sur les résultats de l’exercice précédent appliqués à la parabole de sûreté regardée comme la développée généralisée du point O (le raisonnement est identique à celui que donne M. Darboüx, Leçons sur la théorie des surfaces, 3' Partie, Chap. V).

5. Si, dans l’exercice précédent, le point Mj est hors de la parabole de sûreté, il n’existe plus de trajectoire de O en Mj, et cependant il doit exister une courbe rendant l’action de O en M, minimum. Démontrer que cette courbe est formée des deux perpendiculaires abaissées de O et M, sur la droite 2J1 — 2gy — o et de la portion de cette droite comprise entre ces deux perpendiculaires (résultat analogue à celui de la page 217).

6. L’étude des tiajectoires d’un point pesant dans le plan vertical xOy est identique à l’étude des lignes géodésiques d’une surface S' dont l’élément linéaire serait donné par

ds'- — ( 2 /i — 2 g y ) ( dx"^ H- dy"^).

Démontrer que cette surface est applicable sur une surface de révolution et former l’équation de la méridienne. Si l’on fait 2 h — 2 gy = m, 2gx — v^ on retrouve l’exercice de la page 499-

7. Appliquer le principe de la moindre action au mouvement d’une planète, et résoudre pour ce mouvement les questions analogues aux précédentes (4, 5et6). ( Foi> Jacobi, Vorlesungen über Dynanük, sechste Vorlesung.)

8. Soient o{x^ y, z) une fonction positive de x^y^ z, et A, B deux points fixes; les courbes G joignant ces points le long desquelles l'intégrale f{x, y^ z) ds est minimum sont : i" les figures d’équilibre d’un fil pour lequel la tension est cp et la fonction de forces — 9; 2° les courbes brachistochrones d’un mobile de masse i

pour une fonction de forces

la vitesse initiale au point .Tq, jKo, -o étant

— - — ^ — ; 3“ les trajectoires d’un mobile libre de masse i pour une fonction 9\^oiyo-

de forces cp^(Æ7, jk, z), la vitesse initiale étant V^2 cp jKo, Zq). {Voir Andoyer, Comptes rendus, t. C, p. 1577; Vicaire, Ibid., t. CVI, p. 4^8.)

9. Les mêmes théorèmes ont lieu pour les courbes tracées sur une surface fixe et rendant J' ^ ds minimum.

10. La courbe qui, parcourue par un mobile sous l’action d’une fonction de forces donnée, rend minimum l’intégrale fv'^ds, — y/i(U + A)], a en chaque point son rayon de courbure dirigé suivant la même droite que celui de la trajectoire que le mobile décrirait s’il devenait libre à partir de ce point et égal à ce dernier rayon divisé par l’exposant n\ il doit être porté en sens contraire si n est négatif.

Le cas le plus intéressant est celui où n— — i : la courbe est alors une brachistochrone ; on retrouve ainsi la liaison entre les trajectoires et les brachistochrones mise en évidence dans l’exercice 8. (Vicaire, Savants étrangers, et Rapport de M. Jordan, Comptes rendus, t. CVIII, p, 33o.)

11. Déduire les équations de Lagrange du principe de la moindre action. Prenons, par exemple, un point libre rapporté à un système de coordonnées 92^ 9z • U sera fonction de ces coordonnées et l’on aura

ds"^— a^^dq\-^. . .+ ^a^^dq^dq^-V

Il faudra alors déterminer q^, q^, q^ en fonction d’une variable auxiliaire q, de

y/2 (U -^h)-^dq soit minimum. Faisant dans les équations

obtenues le changement de variable (5) de la page 544? R les équations de Lagrange. D’après l’exercice 8, on arrive ainsi à appliquer les équations de Lagrange à la figure d’équilibre d’un fil {Comptes rendus, t. XCVI, p. 688).