ÉQUATIONS CANONIQUES. THÉORÈME DE JACOBL APPLICATIONS

291. Historique. — Les équations du mouvement d’un point, soit libre, soit assujetti à glisser sur une surface ou sur une courbe fixes ou mobiles, ont été mises par Lagrange sous une forme qui est la même dans les trois cas, avec cette seule différence que le nombre des paramètres à trouver en fonction du temps est trois pour un point libre, deux pour un point sur une surface, un pour un point sur une courbe (n°® 259, 263, 282). Nous verrons plus loin que les équations du problème le plus général de la dynamique des systèmes peuvent se mettre sous cette même forme, le nombre des paramètres étant alors quelconque, pourvu que les liaisons puissent être exprimées en termes finis et que les paramètres soient de véritables coordonnées.

Les transformations et les théorèmes qui suivent s’appliquent seulement au cas particulier où les projections X, Y, Z de la résultante des forces données appliquées au point sont les dérivées partielles, par rapport à .27, y, d’une fonction U(^, y., t) pouvant contenir explicitement le temps t. Les équations de Lagrange sont alors de la forme

d ! d^\ c)T dU J dq^

dt\dq'f dq^ âq^’ dt '

OÙ v = i, 2, 3 pour un point libre, v = i, 2 pour un point sur une surface, v = i pour un point sur une courbe. Nous développerons la théorie en supposant, pour fixer les idées, que le point soit libre, v = i, 2, 3 : il y aura alors trois équations et trois para-

mètres ^2? ^3- Mais, comme on le verra, les raisonnements sont indépendants du nombre des équations (i).

Une transformation, commencée par Poisson et terminée par Hamilton, permet d’écrire ces équations sous une forme qui ne contient plus que les dérivées partielles d’une seule fonction et qui est très propre aux recherches théoriques.

Cette forme a conduit Jacobi à un théorème extrêmement remarquable sur l’intégration des équations du mouvement.