CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
La fonction T, qui dépend des lettres <70, ^ ^ q'.^ et
subit alors une variation oT donnée par la formule
. dT ^ ÔT , dT , ,
O 1 — OÇi H- 0^2 H ^ 05^3 ■+" 3 — T 1
àqi ^ àq^ ^ dq^ ^ dq\
àT , , TT^q^-
àq%
âT
ou, en vertu des équations (2),
dT . dT . dT .
ce qu on peut écrire
oT = 5(piq\-^ p^q'^^ p^q'^)
+ ^^^z—qiàpi—q,Jp2—q;Op3.
En posant, pour abréger,
K = piq[+p2q'^-\-pzq'^—T,
cette identité s’écrit
oK =
àqi
8qi
dT
0^34- ^io/?i + ^2S7?2H- q^^ps
ce qui donne une première expression de la différentielle SK. Supposons d’autre part R exprimé au moyen du système nouveau de variables 9^,, q^, <73, i; quand qi , q.,, qs,p\, P2, Pu
subissent les accroissements arbitraires considérés, la différentielle oR est donnée par la formule
dK , dK , dK ^ dK ^ dK . dK ^
- — oq J -+- - — ùqçi 4- -7 — 0^3 4- - — opi 4- -3 — op2 4- -3 — op^. àqi àq2 dq^ ^ d/?, dp^ dpz
Cette expression doit être identique à la précédente, quels que soient 6(7,, ùq^^ S^3, S7?^, S/?2, ^/>3 i on a donc
dq^ ~ d^v’
àpv
Dans ces équations les dérivées partielles de T sont prises en supposant T exprimé en q^, ^3, q\^ ^3, et celles de R en
supposant cette fonction exprimée en g^, q^^ ^3, p\^ p^’, Pz> En
vertu des équations (4), les équations de Lagrange (i) prennent la forme
dpy
dt
àK
àqv
éU
àqv
dq^j JK
dt o*/?v ^
Considérons la différence ;
la fonction U dépendant seulement de y, t s’exprime au moyen du temps et des seules variables tandis que K i
dépend du temps, des variables q^^ q^-, q% et aussi des variables ! 5 /^3 ; de sorte qu’on a
dK éU dU
épv * àçy dqy
et les équations (5) deviennent, en faisant successivement V = I , 2, 3,
dqx
dU
dqz
dU
dqz
dR
dt
àpi'
dt
àpi
dt
àps ’
dpx
éH
dp% __
àU
dpz
dR
àq^'
dt
àqz
Ce sont là les équations canoniques du mouvement données par Hamilton; elles sont du premier ordre et au nombre de six; elles déterminent les six variables q^, q^^ ^35 /?i j />3 en fonction du temps et de six constantes arbitraires. Pour avoir le mouvement du système, il suffît de trouver les valeurs des paramètres (q\-) q2i ^3 en fonction du temps, puisque ce sont les seuls qui interviennent dans la détermination de la position du point.
293. Cas particulier où les expressions de x, y, z en fonction de ^2 J Çs lie contiennent pas explicitement le temps. — Les
calculs se simplifient si la définition des nouvelles coordonnées ^i, Ç2’) Çs est indépendante du temps, c’est-à-dire si les expressions de x,y^ Z en q^, q^^ q^ ne contiennent pas t. On a alors
en effet, T étant dans ce cas une fonction homogène et du second
