CHAPITRE XVI. — EQUATIONS CANONIQUES

degré par rapport à q\^ ^3, on a (n®® 261, 265, 283)

, , dT , dT ^

or, d’après les équations (2), le premier membre n’est autre que P\ P^q'i-^PsÇ^ ; on a donc

et la fonction d’Hamilton H devient

Dans ce cas les calculs qu’il faut faire pour passer de la forme quadratique T, exprimée en q'^, q'^^ ^3, à la forme T exprimée en /?<, /?2i Ps sont identiques à ceux qu’on fait pour passer d’une forme quadratique à la forme adjointe, par exemple, pour passer de l’équation d’une conique en coordonnées ponctuelles homogènes à l’équation de cette conique en coordonnées tangentielles homogènes.

Si l’on pose

2 T = «Il -h a22 q'i H- «33 9^? -h 2 «12 q\ q\ 4- 2 «33 q’^ q'^ 4- 2 «31 q'^ q\

OU, SOUS forme condensée,

on a

^ikqtq k

( (^ik — (^ki)i

anq'i cii^q^-^ ai^q'^,

D’où, en désignant par D le discriminant de la forme quadratique, c’est-à-dire le déterminant des neuf quantités aik, et par Aik le

mineur de ce déterminant relatif à l’élément a;k, A,7f= -r— ?

duik

q'v— ( ^Vl/>1 4- Av2/>2 4- Av37?3 ) (v=I,2, 3),

2T =7?l^i4-/?25'2-+-i>3^3=2 ^P^Pf‘ (A/yt= Aa-,)

294. Remarque. — Pour faire la transformation d’Hamilton il a fallu supposer résolues les équations (2) par rapport à q\, ^35 Cette résolution est toujours possible. Prenons, par exemple, le cas où la définition des nouvelles coordonnées est indépendante du temps ; T est alors une fonction homogène et du second degré, c’est-à-dire une forme quadratique de q'^, ^'3, et le déterminant des coefficients de ces inconnues dans les équations ( 2) est le discriminant de cette forme quadratique ; s’il était nul, on pourrait trouver un système de valeurs de q\., ^31 9ai ^^on toutes nulles, {q\)o, iq',y, (q'^)o annulant toutes les dérivées partielles de T par rapport à ces variables, ce qui est impossible, puisque ce système de valeurs annulerait T d’après la relation

^ , dT , âT , dT

^^dq\ ^^âq'^ àq'.,’

or, 2 T étant la force viA'^e du point ne peut pas s’annuler pour des valeurs réelles de q\^ ^3, ^3, c’est-à-dire pour un mouvement réel du point. On voit donc bien que le déterminant considéré est toujours différent de zéro et la résolution des équations (2) est possible.

Si les expressions de x, ^ en fonction de ^1, q^^ qz contiennent explicitement le temps,

la demi-force vive

dcp

àqi

/ do

n’est plus homogène en q\, q'^, q'^. Mais le déterminant des coefficients de ç'i, ^'3, q\ dans les équations (2) est alors le discriminant de la forme quadratique

dcp

, do

dcp

àqz

obtenue en prenant, dans T, les termes du second degré. Ce discriminant ne peut pas être nul, car, s’il l’était, la fonction Ti s’annulerait pour des valeurs réelles de q\.^ q\^ ^3, non nulles toutes trois, et il existerait un déplacement virtuel du point, obtenu en laissant t constant et faisant varier ^1, ^3, ^3, pour lequel la demi-force vive virtuelle

serait nulle; ce qui est impossible.

295. Intégrale des forces vives. — Nous avons vu antérieurement que, dans le cas où il existe une fonction de forces U(.r, J, z), on a l’intégrale des forces vives sous la forme