CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
C’est ce que nous avons vérifié (n"®261, 265, 283) en supposant les expressions de z en <7^, Indépendantes du
temps. On a ainsi une intégrale première des équations canoniques qu’on peut déduire par un calcul direct de ces équations.
Pour le vérifier, nous supposerons encore que les expressions de y, Z en fonction de <7^, ^27 <]‘i ne contiennent pas dans
ce cas, T ne contient pas t, U non plus, ni H, qui est égal à T — U.
Si alors, dans la fonction H, les paramètres q^ , q^^ q^ et sont supposés remplacés parles expressions qu’ils doivent prendre en fonction du temps en vertu des équations (6), on a, d’après le théorème des fonctions de fonctions,
dM. éH dqx éH dq<^ c)H dq^ éH dpx dp^ éH dp^ ^
dt dqi dt dq^ dt dq^ dt dp^ dt dp^ dt dp^ dt ’
or, d’après les équations canoniques, on a
dB dpy dH àU
^q^J dt dpy dt dqy^ o*/?v àp^ dq^
et il reste
^=0 ou B = h ou T — U = /o dt
Si les expressions de x^ y, z en ^27 Çz dépendaient du temps, H ne serait plus égal à T — U et l’on n’aurait plus l’intégrale H = h : H contiendrait explicitement le temps, et la dérivée
totale ^7 prise en regardant ^27 ^37 P\, P21 fz comme fonctions de aurait un terme de plus, la dérivée partielle de H par rapport à la lettre t figurant explicitement dans H,
~dt’
la réduction qui précède donnerait alors
dB (jH dt dt
296. Exemple. Force centrale fonction de la distance. — Mettons, par exemple, sous forme canonique les équations du mouvement d’un point dans un plan sous l’action d’une force centrale fonction de la distance. Prenons le centre des forces pour origine et un système de coordonnées polaires r et 6, jouant le rôle des paramètres q^ et q<^. La demi-force vive
est, en supposant la masse du point égale à l’unité,
La fonction de forces U est fonction de /% U = Gomme T est homo-
gène en r' et 6', on a
H = T — U =-|(/’'2-4-r20'2)iir(^).
Les variables px et sont définies par les équations
dT
dT
d’où l’on lire
= il-
r =pi,
l’expression de H en fonction de ces nouvelles variables est donc H
et les équations canoniques sont
dr
di -P"
dpx
dt
c?6 JO2
dpi dt
équations définissant r, 6, p\ et p% en fonction de t. La dernière donne
P2= G et en portant dans la seconde ^ = G, ce qui est l’équation des
aires; éliminant px entre la première et la troisième, et remplaçant p^ par G, on a l’équation
équation établie directement dàns le Chapitre XI, comme définissant le mouvement sur le rayon vecteur.
Le théorème des forces vives s’exprime par l’équation T — U = ^, ou H = /i.
