CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES

^2? ^3 et fonction que nous écrirons H (/?< ^ ^25 ^3;» 0

pour mettre les variables en évidence. L’origine du théorème de Jacobi est dans cette remarque que les équations canoniques sont les équations des caractéristiques de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre suivante, définissant V comme fonction des variables q^, t regardées comme indépendantes :

^ -hH

d\ dY âY

1—’ ^2, qs, t \ =0.

àqi dq^ (^^3 '

Le premier membre de celte équation s’obtient en écrivant — ?

plus ce que devient la fonction H quand on j remplace /?<, p% dY dY dY dqi' dq^’ dq^'

Hamilton avait démontré que, si l’on connaît les Intégrales générales des équations du mouvement mises sous forme canonique, on peut en déduire une intégrale complète de cette équation aux dérivées partielles. Jacobi compléta ce théorème en montrant que, réciproquement, si l’on connaît une intégrale complète quelconque de cette équation aux dérivées partielles, on peut en déduire les intégrales générales des équations du mouvement. Comme nous venons de le dire, celte équation aux dérivées partielles que nous nommons équation de Jacobi, est choisie de telle façon que les équations (6) du mouvement soient les équations différentielles des caractéristiques, d’après la méthode connue d’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Nous n’aurons d’ailleurs pas à nous servir de cette méthode.

Précisons d’abord la forme que doivent avoir les intégrales générales des équations canoniques. Les équations (6) forment six équations du premier ordre définissant , ^25 P\^ P21 Pz en

fonction du temps; leurs intégrales générales sont donc données par des équations de la forme

Fv(^, «1, a,, «3, èi, 6,, 63) j Pv = Gv(^, «I, «2, «3, ^1, ^2, 63) (

avec six constantes arbitraires a^, «3, ^25 b^.

Gela posé, l’équation aux dérivées partielles (J) du premier ordre définit une certaine fonction V des variables qt, q<i, ^3, t, regardées comme indépendantes. On sait qu’on appelle, d’après

Lagrange, inLégrale complète d’une équation aux dérivées partielles du premier ordre, une solution de cette équation contenant aillant de constantes arbitraires qu’il y a de variables indépendantes ; dans le cas actuel, une intégrale complète devra donc contenir quatre constantes arbitraires. Mais, comme l’équation (J ) ne contient que les dérivées de V, il est évident que, si l’on possède une solution V de l’équation, la fonction V -h cons t. est une autre solution ; donc, pour avoir une intégrale complète, il suffit de trouver une solution

V(5'i, ^2, qz, t, a,, «2, «3)

divec trois constantes arbitraires a^, a<^^ <23, dont aucune n’est simplement ajoutée à la solution; la fonction V -f- const. est alors une intégrale complète. Cette dernière constante, qu’on peut toujours ajouter, ne joue aucun rôle dans le théorème de Jacobi, dont voici l’énoncé ; Si Von a trouvé une intégrale complète telle que (G), les équations finies du mouvement, c est-àdire les intégrales génércdes des équations canoniques, sont

éV

ôY

day

da^

ôY

àqi’

àqV

ôql

b\, Ô2, Ô3 désignant des constantes arbitraires.

Les trois équations (J^) de la première ligne, résolues par rapport à ^25 ^3? donnent ^21 ^3 en fonction du temps et des six constantes a^, a^. a^^ Ô2, b^ \ ces valeurs étant portées dans

les équations (J2)} ces équations donnent ensuite /?<, yOj, en fonction du temps et des mêmes constantes : il faut montrer que les expressions ainsi obtenues sont les intégrales générales des équations canoniques

dq^, éH

dt dq^, ’

dp,j éH

dt dq.)

Les équations (J^ ) forment un système de trois équations simultanées entre q^ , ^25 qz et définissant q^ , q^i q^ en fonction de t ; cherchons les dérivées de ^25 ^3 pai* rapport à d’après le théorème des fonctions implicites, c’est-à-dire en différentiant les