CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
l’équation (J) de Jacobi, le résullat de la substitution est identiquement nul quels que soient a^. La dérivée
du premier membre par rapport à q^ est donc identiquement nulle : écrivant ce fait, on a
dqi dt dqx
dH
d2V dH
dH d-^V
/ dV \ dqx dqz ~~ ' \d9’3/
équation qui exprime que (9) est une identité quand on y rem- , éV éV éV
place par^, df,’
Le théorème de Jacobi est ainsi démontré. L’intégration des équations du mouvement est donc ramenée à la recherche d’une intégrale complète de l’équation (J). Réciproquement, si l’on veut, par les méthodes classiques, intégrer l’équation de Jacobi, on est conduit à intégrer d’abord les équations canoniques. On peut donc dire que les deux problèmes d’Analjse : intégrer les équations canoniques, ou trouver une intégrale complète de l’équation (J), sont équivalents, en ce sens que la résolution de l’un entraîne celle de l’autre.
Remarque. — Nous avons admis que le système des équations du pre-
dqx dq^ dq^ m.erdegre(7)en-^, ^
dire que le déterminant
do \ do% dq% . . ^ i i ^
na quun système de solutions, c est-a-
drti dqx
dax dq<i
dax àq-
d«2 dqx
da^ dq^
dtt2 dq -
da-i dqx
d«3 dq^
daa d^;
dqx' dq^'
considérés comme fonctions de «i, «2, «3. Si ce déterminant était nul,
est durèrent de zéro. Or, c’est là le déterminant fonctionnel de àq%
on aurait une relation (10)
dV dV dV dqx ’ dq
\dqx ’ dq^' dq^j
entre > - — ? t — avec des coefficients indépendants de «i, a,, c’est-
dqx dq^ dq^ r d,
à-dire fonctions de ^i, et t. L’intégrale V ne serait alors pas une in-
tégrale complète de l’équation de Jacobi, car elle vérifierait non seulement l’équation de Jacobi, mais encore la dernière équation obtenue (lo) qui, dV
ne contenant pas — j est nécessairement distincte de celle de Jacobi. Et,
comme il est connu, le caractère essentiel d’une intégrale complète, c’est que, par l’élimination des constantes qu’elle contient, on retrouve l’équation aux dérivées partielles proposée et aucune autre. Le déterminant A ne peut donc pas être nul {voir Goursat, Equations aux dérivées partielles, p. 97).
On conclut aussi, de ce que A n’est pas nul, que les six constantes figurant dans les intégrales (Ji) et (J2) des équations canoniques sont réellement distinctes, c’est-à-dire qu’on peut déterminer aj, a^, a^ de telle façon que, pour t = t^, q\, q%, q% prennent des valeurs arbitraires données, et ensuite h^, 63 de telle façon que, pour t = P\i P%i Pz prennent également des valeurs données.
298. Cas particulier où t ne figure pas explicitement dans les coefficients de Téquation de Jacobi. — Ce cas se présente en Mécanique c|uand les expressions de x., y, zen fonction de^^, Ç21 Çz ne contiennent pas explicitement le temps et quand il j a une fonction de forces U(^, y, z). Alors, comme nous l’avons vu au n° 293, on a
(il) ^1, 5^2, = T — U,
OÙ T estime forme quadratique de p^, P21 Pz- Dans ce cas, on peut satisfaire à l’équation de Jacobi par une fonction V de la forme
(12) \ = — ht W,
h désignant une constante et W une fonction de ^4, qz et non de t.
En substituant cette fonction V dans l’équation (J) de Jacobi et remarquant que
dV ^ dV dW
dt ’ d^v ^
on a, pour déterminer W, l’équation ■dW dW dW
, /dW dW
/i -h H -- — , - — , - — , qx, qi, qz) =0. \()qx dq^ dqz ^ ^ ^ /
Il suffira de trouver une intégrale complète de cette équa-
