CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
lion (J^), W(^|, ^25 ^3? oc, p, A), contenant, outre A, deux constantes a, p dont aucune n’est additive. Alors, on aura, en prenant
V = — ht^^iqu ^2, qz, a, P, A),
une intégrale complète de l’équation de Jacobi avec les trois constantes a, p, A, qui jouent le rôle de «oj
Les intégrales (J< ) et (J2) des équations du mouvement sont alors, en appelant a', [3' et — d’autres constantes qui joueront le rôle de , A2, A3,
da.
Px
dW àqi ■
dW
~ àq% ■
c)W âh
Pz =
Les deux premières équations (L,) ne contenant pas le temps définissent la trajectoire du mobile dans le système de coordonnées ^2i qz- ba troisième donne le temps t que met le mobile à arriver en un point de cette trajectoire.
La constante A est alors la constante des forces vives; en effet,
l’équation (J') devient, en vertu des valeurs (J!,) de àqz ’
qu ^2, ^3) — A = o;
c’est l’intégrale des forces vives (n° 295).
299. Propriété géométrique des trajectoires. — On a dans ce cas la propriété géométrique suivante : Si Von donne aux constantes a, p, A des valeurs arbitraires fixes et si Von fait varier a', 1^', les trajectoires déterminées par les deux premières équations (J'j) sont normales aux surfaces ayant pour équation W = const.
Ce théorème est aisé à démontrer si l’on emploie les coordonnées cartésiennes, comme nous le montrons dans le numéro suivant, à titre d’exercice. Nous le démontrerons dans un système quelconque de coordonnées, pour avoir un mode de démonstration susceptible de s’étendre au mouvement des systèmes.
Remarquons que la condition nécessaire et suffisante pour que
DYNAMIQUE DU POINT
deux déplacements infiniment petits dx^ dy^ dz et 8^, ùy, 0.3 soient rectangulaires est
dx dy 8y dz èz = o.
Si nous supposons en particulier que dx^ dy^ dz soit le déplacement réel du point mobile sur sa trajectoire pendant le temps dt^ et ^x^ oz un déplacement orthogonal quelconque, nous pourrons écrire la condition ci-dessus en la divisant par dt, et appelant x' ^ y', z' les dérivées de x, y, z par rapport à t,
x' 037 + jk' ÔJU -f- z' dz = O.
Pour passer des coordonnées cartésiennes aux nouvelles coordonnées <73, nous avons posé
^ S's, ^3), y = qs), z = w(qi, q^),
d’où
, do , do , do , àqx^ dq^i^"- dq^^^'
puis de même
(^çp ^ do ,àcp
dx = —^oq,-h -^oq^i-h ;^ùq3, dqi dq^ ^ dq^
en appelant , 8^25 ^^3 l^s variations infiniment petites des coordonnées ^25 ^3 correspondant au déplacement 8^, 8jk, 8^. Si l’on se rappelle que la demi-force vive est
la condition d’orthogonalité (i3) s’écrit, comme on le vérifie sans peine,
, dT ^ dT ^
T~T^q^-^ T-T 0^2 :rT^q^ = o dq'i ^ àq^ ^ dq',
OU encore, d’après les notations que nous employons,
(14) Pi ^qi~^ Pi ^qz-^ ps ^qs= O.
Revenons maintenant au théorème à établir : nous voulons montrer que la trajectoire du point, définie comme nous l’avons
