CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
dit dans l’énoncé, est normale à celle des surfaces
(i5) W(^1, ^2, a, (3, A) = const.,
qui passe par la position considérée du mobile. Pour cela, il suffît de montrer que la vitesse x\ y\ z' du mobile est perpendiculaire à tout déplacement 8^,, 8^25 5^3 effectué sur la surface (i 5), c’està-dire vérifiant la condition
éW . c)W . ^
àqi ^ àqt ^ dq^
En d’autres termes, il suffit de faire voir que eette condition (16) entraîne nécessairement la condition d’orthogonalité (i4)* Or ceci est évident, d’après le théorème de Jacobi, car les valeurs de /?2)/>3» telles qu’elles résultent de ce théorème, sont (équations J2 du numéro précédent)
W éW
dq^ ^ dq^ ^ dq^
La condition (16) entraîne donc (i4)? ^t la vitesse du mobile, étant normale à tout déplacement eft'eetué sur la surfaee W — const., est normale à eette surface.
300. Coordonnées cartésiennes dans l’espace, — Supposons, pour traiter un exemple simple, que q\^ q^, q^ désignent les coordonnées cartésiennes elles-mêmes,
x = qu y = qi^ ^ = ^3, y=q'ï: ^'=^3,
et, pour abréger, prenons la masse du point matériel pour unité. Alors T =|(æ'2-t-/2+Æ'2),
et, si l’on suppose qu’il existe une fonction de forces V(x, jk, 2), la fonction d’Hamilton est
Il faut exprimer cette fonction à l’aide des variables a?, y, z et des variables auxiliaires pi, p^, ps définies par les équations
dT , àT ,
en sorte que la fonction d’Hamilton s’écrit
les équations canoniques sont, par suite,
dx
dt
= Pi,
dy
dt
dz
dt
dpi
dp^
dU
dpz
dt
dx ’
dt
“ dy '
l’élimination des variables p entre ces six équations fournit évidemment les équations ordinaires du mouvement.
Voyons ce que donne, dans ce cas, la méthode de Jacobi. Cette méthode consiste à chercher pour l’équation différentielle
dv i [fdYy /dvv /àyyi
une intégrale complète, c’est-à-dire contenant trois constantes arbitraires non additives. Le temps n’entrant pas explicitement dans cette équation, nous poserons
Y =— ht -hYV (x, J, z),
h étant une constante; il suffira alors que W satisfasse à la relation (J")
if
(àJKY.
(àvfy
/dwyi
[ày )
\dz) \
Si l’on a trouvé, de cette équation à trois variables, une intégrale complète
YY{x,y, 3, a, p, h)
contenant deux nouvelles constantes arbitraires a, 3, dont aucune n’est additive, le théorème de Jacobi nous montre que les équations finies du mouvement seront
dW
da
dW
dp
dW
Les deux premières équations représentent la trajectoire, et la dernière donne le temps que met le mobile à arriver en un point de sa trajectoire. On a de plus, pour pi, />2, />3î les valeurs
dV
dx^
dV
dV
