CHAPITRE XVI. ÉQUATIONS CANONIQUES

et, comme />i, pz sont ici égaux à x\ y' , z' et V à — Aif -h jp, z),

on a

, , aw , aw

dx dy âz

formules qui donnent les projections de la vitesse du mobile exprimées en fonction de ses coordonnées, par les dérivées partielles d’une fonction W. Cette fonction vérifiant l’équation (J"), on a

ce qui n’est autre chose que l’intégrale des forces vives; h désigne donc, comme nous l’avons déjà vu, la constante des forces vives.

Nous pouvons, en outre, vérifier facilement la propriété géométrique des trajectoires. Donnons à a, p, des valeurs arbitraires déterminées; les expressions ci-dessus de x\ y\ z' par les dérivées partielles de W montrent qu’en chaque point (x, y^ z) la. vitesse du mobile est normale à celle des surfaces W = const. qui passe par ce point. Or, la AÛtesse est tangente à celle des courbes trajectoires

dW , dW

que l’on obtient en déterminant a' et [3' de telle façon qu’elle passe par la position considérée du mobile. Donc, toutes les trajectoires obtenues en faisant varier a', [3' sont normales aux surfaces W = const. C’est là la propriété géométrique des trajectoires que nous avons démontrée dans le numéro précédent, avec le système de coordonnéés générales qi, q^, qz.