III. — MOUVEMENT PLAN, MOUVEMENT SUR UNE SURFACE

301. Généralités. — Il est évident que tout ce qui précède s’applique au mouvement dans un plan ou plus généralement sur une surface, à condition d’employer deux coordonnées q,^ et au lieu de trois. La fonction

dépend alors de q\-, qi et et l’équation de Jacobi est .Tx dV ,,/dV dV \

Si l’on en connaît une intégrale complète avec deux constantes arbitraires «i, dont aucune n’est simplement ajoutée,

V(^i, ^27 ^5 <^2)5 on a, pour les équations finies du mouve-

ment,

da, ~

dV

coordonnées

, ^2 a Line

dante du temps, et si U ne contient pas explicitement le temps, la lettre t ne figure pas dans les coefficients de l’équation (J) \ on peut faire alors

W(^i, ^25 h) étant une intégrale complète de l’équation

éW éW

avec une constante a non additive. Les équations du mouvement sont alors

(jW

éW

dh

où la première est l’équation de la Irajectoii e ; on a de plus

âW 0q\ ''

àqz

Les trajectoires obtenues en faisant varier a' sont normales aux courbes W = const.

Un raisonnement identique à celui que nous avons développé pour le mouvement d’un point libre servira à établir ce théorème.

La condition d’orthogonalité de la vitesse x’ ^ y\ z’ et d'un déplacement 8^, dz est

(a) x’ -h y z' oz — O.

Actuellement, sur la surface,

x = ^{qi,q2), y = ^(qi:q2), ^ = '^{qi,q2),

, do , do ,

dqi ^ dq^