CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
D’ailleurs
La condition (a) peut alors s’écrire
àT . dT ,
TT + TT 05'2= O âq\ ^ dq'^
OU
Pi ^i-^Pi oq^=o.
âW
Pour établir que les trajectoires = a' sont orthogonales aux W(^i, q2, oc, h) = const.,
courbes
il suffit de montrer que la vitesse du mobile est orthogonale au déplacement oq2, effectué sur cette courbe, c’est-à-dire vérifiant la relation
àqi
àq%
Or, d’après le théorème de Jacobi, et sont égaux à
et /?2 : la condition (c) entraîne donc bien la condition d’ortbogonalité {a').
302. Mouvement parabolique d’un point pesant dans le vide. — Prenons, comme au n* 217, un axe horizontal Oa? dans le plan de la trajectoire et un axe vertical Oy dirigé vers le haut, et employons les coordonnées cartésiennes a? et jK. Nous avons, en supposant m = i, U= — g-y, et l’équation déterminant la fonction W s’écrit
-hg^y = o.
Gomme a? ne figure pas dans les coefficients, il existe une solution de la forme
W = aa?-t- cp(jK);
en effet, la substitution de cette expression de W dans l’équation donne — At cp'2( jk)] = O,
d’où, en résolvant par rapport à {y) et intégrant par rapport à y pour avoir «p(ju), la solution
L’équation de la trajectoire est alors dW
da
y s/ih — 'jS^ — ^gydy.
. alor
J /2A — a2— ‘igy
dy
et le temps t est donné par dW
. - dW . r dv
J sjo.h — a’^ — 2 g y
On vérifie immédiatement que la trajectoire (i) est bien une parabole d’axe vertical, car, en effectuant la quadrature, on trouve l’expression
> x-^^\j2h — a2 — 2gy = y.\
qui fournit pour jK un trinôme du second degré en x. Quant à l’équation qui donne t, on peut l’écrire en éliminant le signe J' entre (i) et (2)
t — to =
équation qui exprime que la projection horizontale du mobile est animée
d’un mouvement uniforme. D’ailleurs, les équations Pi= p=>=
oqi ^ dq^
sont ici x' =■ a, y' =■ \/ 2h —
Les trajectoires obtenues en faisant varier a' sont des paraboles déduites
Fig. 174.
toutes de l’une d’elles par une translation parallèle k Ox\ ces paraboles
sont toutes tangentes à la droite d’ordonnée — — > lieu de leurs soin-
