CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
mets. Les courbes W = const. sont les paraboles semi-cubiques ( fig. 174)
déduites toutes de l’une d’entre elles par une translation pai allèle à Ox\ ces paraboles semi-cubiques sont toutes normales à la droite AB d’or-
nales aux. paraboles précédentes d’après le théorème du n° 301.
303. Force centrale fonction de la distance. — Le centre des forces étant pris pour origine et la fonction de forces étant W(r), nous avons vu (n® 296) que l’on a, dans un système de coordonnées polaires r et 6,
Appliquons la méthode de Jacobi; l’équation en W dont il s’agit de trouver une intégrale complète est
Gomme 0 n’entre pas explicitement dans cette équation, nous chercherons une intégrale de la forme
R ne dépendant que de r. Il faut alors que cette fonction R satisfasse à l’équation différentielle ordinaire
d’où l’on tire
une intégrale complète de l’équation en W de Jacobi est donc
5y2 TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT,
et I on a pour les équations du mouvement sous forme finie
dW
dot.
âW âh
la première équation est celle de la trajectoire, la seconde donne le temps que met le mobile pour arriver en un point donné de cette courbe.
Si l’on voulait les paramètres auxiliaires pi, p^, on aurait
Cette dernière équation montre que la constante a n’est autre que la constante des aires, car p^ est ég;al à
Le théorème des forces vives nous apprend que H doit rester constant pendant le mouvement. Nous pouvons vérifier cette proposition en nous servant des formules que nous venons d’obtenir. Si nous remplaçons, en effet, dans l’expression de H,
ce qui vérifie que la constante h est la constante des forces vives, comme nous l’avons démontré.
Les trajectoires obtenues en faisant varier a’, ce qui revient à faire tour-
qui se déduisent également de l’une d’entre elles par une rotation autour du pôle.
304. Forme des équations du mouvement d’une planète donnée par Jacobi. — Prenons pour origine le Soleil, pour plan des xy le plan de la trajectoire, et appelons r la distance MO de la planète au Soleil. Toute la question revient à trouver une intégrale complète de l’équation
les variables />i, p^ par leurs valeurs, il nous vient
ner l’une d’elles autour du pôle, sont orthogonales aux courbes W = const.,
