CHAPITRE XVI. — EQUATIONS CANONIQUES

car, la force attractive étant

la fonction des forces est —• En suir2 r

vant la méthode de l’exemple précédent, on trouverait une intégrale complète qui donnerait les équations du mouvement de la planète sous la forme classique.

Jacobi trouve une autre intégrale complète comme il suit (Jig'. 175).

Soient A un point quelconque pris sur l’axe des x et OA = i\. Désignons par P la distance MA, de sorte que

et posons

Nous allons vérifier que la fonction

w= r ds\./ h

est une intégrale complète de l’équation (1) avec une constante arbitraire /’o, outre celle qu’on peut ajouter. En effet, puisque <r et a' dépendent de x et y par l’intermédiaire de et p, on a

dW

âx

dW

ày ~

d’où l’on tire en élevant au carré, ajoutant et remarquant que les termes qui contiennent le produit des deux racines carrées disparaissent.

^dwy

f "ixix — ro)

\dx ) '

r 2.x (X — rQ)-\-2y‘^~\

Dans cette expression, le coefficient de h se réduit à 2; pour calculer

574 TROISIEftlE PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT,

celui de p., on remarque qu’on a identiquement

2/-p -i- p^— r,^ ( J ^ r„) ( J — Tq)

et l’on trouve que les termes en pi se réduisent à •

Il est donc vérifié que la fonction W est une intégrale de l’équation de Jacobi (i) avec une constante t\. Les équations du mouvement sous forme finie sont alors

‘ixjx — 7-q) + 2JK- 7’ P

dW dW

La première équation représente la trajectoire. En l’écrivant sous forme développée, ^on trouve, puisque <r et a' dépendent de 7’o et que

ôi d> X — 7’o da' dp x — 7*o

d7'„ ài\ P d7’o d7’o P

La quantité sous le signe étant la dérivée de — \/ 7^ ~2

après réduction, pour l’équation de la trajectoire.

on a.

/ 1 * /li i ^ ^

Ramenons cette équation à ne plus contenir que les distances du mobile aux deux points fixes O et A. En partant des identités

i ^ ~ ''o 2^^'oP — ^'o + p^ (<7 -I- 7-„ ) (— g'+ rp) ^

P 2 P 7‘o 2 P ro

■2^ /^o 2 7-q P + 7-^— 7'^— p^ (g — 7-q) Tq)

P 2 P 7’o 2 P To