CHAPITRE XVI
EQUATIONS CANONIQUES.
on écrit l’équation
k' désignant une nouvelle constante. C’est donc là l’équation de la trajectoire dans le système de coordonnées bipolaires dont O et A sont les pôles.
Cette forme de l’équation montre immédiatement que la trajectoire passe par le point A, car, en chassant le dénominateur p et faisant p = o, r = /"o, puis (J = a = /'o, l’équation est évidemment satisfaite.
D’après ce qu’on a vu sur le mouvement des planètes, cette équation représente une conique dont le genre dépend uniquement du signe de la constante des forces vives h (n° 227).
Pour calculer le temps que met la planète à arriver en un point de son orbite, il suffit d’écrire la deuxième des équations (3), qui donne, d’après la valeur de W,
quadrature facile à effectuer. Cette formule donne le temps exprimé à l’aide des deux rayons vecteurs /' et p, compté à partir de l’instant où la planète passe au point A, car, en ce point, p étant nul, u est égal à a' et ^ — ^0 à zéro.
Dans le cas d’une orbite parabolique, h est nul ( n° 227) ; on obtient alors une formule due à Euler et attribuée souvent, mais à tort, à Lambert. Dans ce cas,
(^-H ro)2 ds = — + '’o)^ — («y'H- ^'o)-J 6 y/fA
formule donnant le temps t — ^o, que met le mobile à aller du point A en un point M, exprimé en fonction des rayons vecteurs /*o et r des points A et M et de la corde AM = p.
Il faut remarquer que, dans cette formule, le deuxième radical doit conserver le signe — tant qu’il ne s’annule pas, c’est-à-dire tant que l’angle AOM reste inférieur à 180°; car dans le triangle AOM le côté p ne peut devenir égal à la somme des deux autres que si l’angle AOM est de
180°. Après, il faudra changer le signe du deuxième radical. Cette formule joue un rôle important dans la méthode d’Olbers, pour la détermination des orbites eométaires (voyez Mécanique céleste, de Tisserand, t. I, p. ii4)- Dans le cas où h serait différent de zéro, la formule (5) fournirait, une fois la quadrature effectuée, une formule qui généralise la formule d’Euler pour les orbites elliptiques ou hyperboliques, et qui a été donnée pour la première fois par Gauss {voir Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, 25® Leçon).
305. Lignes géodésiques des surfaces de Liouville. — Application à Pellipsoïde. — Liouville a remarqué qu’on peut, par des quadratures, trouver les lignes géodésiques des surfaces pour lesquelles le earré de l’élément linéaire peut se mettre, par un choix convenable des paramètres q\ et ^2j sous la' forme
ds^=z (Al — Ao)(Bi<^^^ — B2C?9|),
Ai et Bi étant fonctions de qi seul, A2 et B2 de q^ seul. Pour obtenir les lignes géodésiques, il suffit de chercher la trajectoire d’un point matériel de masse i qui glisse sur la surface et qui n’est sollicité par aucune force donnée : U = o. Alors
T = |(Ai-A2)(Bi^'2 b,^'2)^
(Al — A2)Bi7'i, /?2 = — (Al — A2)B2<72,
L’équation de Jacobi, dans laquelle on fait V = — ht W, est donc
ou encore
i /wy I /dw\
B, \dgri / B2 \àq^ )
2/i(Ai— A2),
Bi \àqi
— 2 A Al =
On trouve facilement une intégrale complète W formée d’une fonction de qi seul, plus une fonetion de q^ seul. Cette intégrale est, a désignant une constante.
W = /2B1 ( A Al H- a) <f^i -t- v’^2B2(AA2-i- a) z/^2-
T . dW , ,
Les lignes geodesiques ont alors pour équation — — = ol , et le temps t
CIIAPITlUî XVI.
dW
EQUATIONS CANONIQUES.
est donné par t — to— .
f f -j=Éh=.dq,= a.',
J s/2(AAi-f-a) J /^(/iAaH-a)
Aiv/ÏÏ; , r Aav/ï^
t—to== I =dqi-^~ I ■:■ A r —dq^.
U */ "^ ( A Aj H— 3C ^ J y/2 ( /i A2 H— 5( )
La vitesse du mobile étant constante, d’après le théorème des forces vives, on a
ds — \rrfi dt^ s — Sq= \/2h(t — ) 5
la deuxième relation donne donc l’arc de géodésiqiie.
Appliquons cette méthode à l’ellipsoïde. Soit
l’équation d’un ellipsoïde à trois axes inégaux. Considérons les surfaces homofocales
Par chaque point de l’espace passent trois de ces surfaces correspondant à trois valeurs qi, q^^ q% de X (n° 286). En particulier, par un point M pris sur l’ellipsoïde (2) passe d’abord l’ellipsoïde lui-même, correspondant à X == O, (^3=0), puis deux autres surfaces homofocales correspondant aux valeurs q^ et q^ de X.-Nous prendrons ces deux paramètres q\^ et q^ pour coordonnées du point M delà surface. D’après le théorème de Dupin, les lignes q^ = const., q=i == const. sont les lignes de courbure de l’ellipsoïde. Nous avons calculé le ds’^ en coordonnées elliptiques dans l’espace sous la forme (n° 286) ;
ds°^- = i(Mi dq\ -i- Ma 6/^1 4- M3 dq\).
Gomme actuellement <73 est nul, on aura dq-^— o, et, en remplaçant Mj et M2 parleurs valeurs, dans lesquelles q% — o,
q\ dq\
q% dq\
^j)(6 gri )(c — ^1 j (rt — <72j(C — ^2).
Ce ds!^ est bien de la forme de Liouville dans laquelle on ferait
{(i-q‘t){b — qt){c — q.^)
En substituant ces valeurs dans les équations générales (1), on obtient l'équation des lignes géodésiques et l’arc de ces courbes sous la forme donnée par Jacobi. Ces équations contiennent des intégrales ultra-elliptiques dont M. Weierstrass a fait l’inversion en exprimant et en fonctions uniformes d’un paramètre.
On pourra consulter sur les surfaces de Liouville les Leçons sur la théorie générale des surfaces, de M. Darboux (3® Partie, Ghap. I), et le Mémoire couronné de M. Kœnigs {Savants étrangers, 1894).
