CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES

Grâce à la forme particulière de l’équation (i), on trouvera une intégrale complète de la forme

R, <ï>, 'F utant respectivement fonctions des variables r, cp,

Pour que W satisfasse à l’équation (i), il faudra qu’on ait

- ( R'2 -L q.'2 ^ ^ ^ iF'2^ = ^ h,

‘2 \ /’2 /'2cOS2cp J J'

équation qu’on peut écrire, en isolant les termes en r,

^qr'2^ ,.2 ^ — R'2^ ;

COS2cp \ ï' )

le premier membre ne dépend que de cp et le deuxième de r seulement; cette identité ne peut donc avoir lieu que si ses deux membres sont séparément égaux à une constante G2, car, dans l’équation (i), u, <p, 4* sont des variables indépendantes; on aura donc

R'2=2/H--^ il reste alors

dr \

COS-cp

ou

ip'2= (G2 q>'2)cos2cp;

en recommençant le même raisonnement que ci-dessus, on voit que les deux membres doivent séparément être égaux à une constante L^, ce qui donne

puis

■fv'

COS2cp J y COS2(p

Par conséquent, une intégrale complète de l’équation (i) est

2 /n ^ -dr

COS2 cp

c?cp.

et les équations finies du mouvement sont

58o TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT,

c’est-à-dire

Les deux premières équations ne contenant pas t définissent la trajectoire. Pour compléter la solution, nous indiquerons la signification des constantes qui entrent dans ces formules. Nous savons que, pour les planètes, l’orbite est elliptique; le maximum et le minimum du rayon vecteur qui correspondent à l’aphélie et au périhélie sont: a(i-i-e) et a{\ — e); d’autre part, l’équation (III) montre que

Les racines de l’expression sous le radieal doivent donc correspondre au maximum et au minimum du rayon vecteur; ces racines sont, par suite, a{\-\-e) et a{i — e)\ ce qui donne, d’après les relations entre les coefficients et les racines,

G2= |aa(i— e2) ^ G

Cherchons maintenant la signification de L. Pour que l’équation (II) donne une valeur réelle de lorsqu’on se donne ©, il faut et il suffit qu’on ait

* COS2<p

et pour toute valeur de cp satisfaisant à cette condition, se trouvant déterminé, la valeur correspondante de r, donnée par l’équation (I), doit nécessairement être réelle, puisque l’orbite est une ellipse réelle; par con-

séquent, cp a pour limite supérieure arc cos-^ et peut atteindre cette limite.

Or, il est évident que le maximum effectif de cp est l’angle i du plan de l’orbite avec celui de l’écliptique; on doit donc avoir

^ = cos G

L = s/ [ip cos i.