CHAPITRE XVI. — EQUATIONS CANONIQUES
Il nous faut maintenant fixer les limites inférieures des intégrales. \ous prendrons pour ces limites r = a{i — e) qui correspond au périhélie, et 0 = 0 qui correspond au nœud N. L’équation (III) montre alors que ta est l’époque du périhélie et l’équation (II) que est la [longitude du nœud.
Fig. 177.
Pour calculer C, supposons la planète placée au périhélie; l’équation (I) se réduit à
çpi étant la latitude diî périhélie ; en tenant compte de la relation L = G cosé, on peut l’écrire
ou, en intégrant.
CO s 9 do \j cos^ cp — cos’-^ i
sinipi = sinî sinC.
Soient N et P les interseetions des rayons vecteurs du nœud aseendant et du périhélie aVec la sphère de centre O et de rayon i ; soit PQ = la latitude du périhélie : dans le triangle NPQ on a
sincpi = sin NP sin é,
ce qui montre que G est égal à NP, c’est-à-dire à l’angle du rayon vecteur du périhélie avec celui du nœud ascendant.
307. Mouvement d’un point attiré par deux centres fixes en raison inverse du carré des distances.
Le problème du mouvement d’un point attiré par deux centres fixes en raison inverse du earré de la distance fut, pour la première fois, ramené aux quadratures par Euler, dans le cas d’un mouvement plan. Lagrange donna ensuite la solution générale, qui fut rattachée par Jacobi aux mé-
thodes d’intégration exposées dans ce Chapitre. Les quadratures elliptiques qui figurent dans les intégrales fournirent à Legendre un exemple important pour l’application de sa théorie des intégrales elliptiques.
Plusieurs Thèses ont été consacrées à ce même problème : celles de Serret, de Desboves, de M. Andrade (i), en France, et en Allemagne celle de M. Kônigsberger, intitulée : De inotu puncti vei'sus duo centra attracti (Berolini, 1860), qui contient les réductions des intégrales elliptiques aux fonctions 0.
Prenons pour axe O ce {fig> 178) la droite joignant les deux centres attractifs Oi et O2, pour origine leur milieu, et appelons 2c la distance Oi O2 ; soient Ojki et Ozi deux autres axes fixes formant avec 0;r un trièdre
Fig. 178.
trirectangle. Pour déterminer la position du mobile M dans l’espace, nous prendrons d’abord l’angle 6 que fait le plan MO1O2 déterminé par le mobile et l’axe Ox avec le plan xOyii cet angle est mesuré par l’angle de la trace O y du plan MO1O2 sur le plan jki 0,3i avec l’axe Ojki-
Le planj^Ox étant ainsi défini, pour fixer la position du mobile dans ce plan, nous appellerons x et y les coordonnées cartésiennes OP et OQ du mobile par rapport aux axes xOy et çi et les coordonnées elliptiques du point dans ce même plan définies dans un système de coniques homofocales de foyers O1O2 (n° 287). Les coordonnées du mobile M par rapport aux axes fixes étant x^ jki: -Sii on a évidemment
yi=ycos(), ^l=JKsin6, d’où, pour le carré de l’élément linéaire,
ds^ = dx'^-\- dy \ ^ dz\— dx‘^ -+■ dy--\- y^ db^.
Si maintenant, dans le plan xOy, on emploie pour définir la position du point (£C, y) les coordonnées elliptiques qx et q^^ racines de l’équation
(1) Andrade, Journal de l’École Polytechnique, 60® cahier, 1890.
CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES, on a, d’après des formules antérieurement établies (n‘> 287),
{a — qx){ci — qi) {b — qx){h — q^)
dæ^-\- 7(^1 dq\-\- Na dq\)^
Donc, dans le système de coordonnées actuelles, le carré de l’élément linéaire est
ds^-= dq\-^^^dq\) -\-y^ d^°^^
Ni, Na et étant supposés remplacés par leurs valeurs ci-dessus en q^ et q^.
Prenons la masse du mobile pour unité : la demi -force ^4ve est
où 6 et 6' jouent le rôle de q^ et q‘.^. Si l’on appelle ri et r-i les distances MOi et MO2 du mobile aux deux foyers, les forces attractives issues de ces
foyers ont pour valeurs algébriques — ^ et — : la somme de leurs tra-
vaux élémentaires — ^ ori — — est la différentielle totale exacte de r| r|
la
fonction de forces
ri ra
Or, le carré du demi-grand axe de l’ellipse qui passe par le point M étant a — qi, on a, pour la somme /'i H- /'a des distances du point M aux deux foyers,
f'i -h /'-a = 2 y/« — qi‘i
de même, le carré du demi-axe transverse de l’hyperbole qui passe par M étant a — q^^ on a
Tj — r^=‘i^a — ga,
d’où
n — sJ a — qi-^ s! a — q^^ r<^= \/ a — qi — sJ cl — q%,
U Ifi U2— Ui
ri /'2 ~ q^—qx^
d’où l’on conclut
DYNAMIQUE DU POINT
expression obtenue en réduisant au même dénominateur et posant, pour abréger,
Ui = — (pi-+- U2 = — (pi — P2) 9^2;
de sorte que Ui dépend seulement de <71 et U2 seulement, de <72, ee qui est un fait essentiel pour la suite. Les variables auxiliaires /?], p^-, Ps sont ici égales aux dérivées partielles de T par rapport à <7^1, q'^ et 0' :
résolvant ces équations par rapport à q\^ q\ et 0', puis portant dans la fonction d’Hamilton H = T — U, on a
^ o-P\ 27>1 p\ U2 — Ui .
Ni 1N2 qi-qx'
cette fonction devient enfin, en remplaçant Ni, N2 et y'^ par leurs valeurs en fonctions de q^ et q^^ et remarquant qu’on peut écrire
H = r— ^ \‘^f{qi)p\ — \f{q^)pl q^~ qï\
Il est alors aisé d’écrire l’équation de Jacobi : nous écrirons immédiatement l’équation en W obtenue, en remplaçant, comme plus haut, W par
On peut trouver une intégrale complète de la forme
W aO -U R, -H R,,
Ri étant fonction de <71 seul et R2 de ^2 seul. En effet, en substituant cette expression de W et chassant les dénominateurs, on a, pour déterminer Ri et R2, une équation qui s’écrit
hqy-\- 2/(^1)
fdK,
\dqi
= /i<72-4- 2/(5ro)
) -yb — qx)
-hUi
