CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES

où le premier membre dépend de seulement et le deuxième membre de seulement. Gomme, dans l’équation aux dérivées partielles, qx et </, sont des variables indépendantes, la seule façon de vérifier cette dernière relation, sans établir de dépendance entre q^ et <72, est d’égaler séparément chaque membre à une constante '2,6. Résolvons ensuite les deux

. d[\x clK.

équations ainsi obtenues par rapport a et ^7^; nous aurons, en

posant

hqx —

(a — b)oc^ 2{b — qi)

ces expressions donnent Ri et R2 par des quadratures, et l’on obtient, pour l’intégrale complète cherchée, l’expression

W = aO

avec trois constantes arbitraires a, ^ et h, dont aucune n’est simplement ajoutée. Les équations de la trajectoire s’obtiennent alors en égalant à des constantes a' et les dérivées partielles de W par rapport à a et ^ :

dqx

r r dq

{a — b)y. J* dq=i

dq^

Mb — qx)\/^xj\qx) J Mb — q^) \/ ^2f{q%)

La deuxième de ces équations, donnant une relation entre qi et q^, est l’équation de la trajectoire relative dans le plan mobile xOy : la première donne l’angle de rotation du plan. On obtient le temps en égalant à ^ la dérivée partielle de W par rapport à h ;

^ r q, dqx i r q^idq^ ^ t t

4 J v/Si/(^i) -U ^^2/(q2)

Le problème est ainsi ramené aux quadratures; ces quadratures sont elliptiques, comme on s’en assure en faisant — a — s\^ q^i — a = .?|, de façon à rendre Si et 82 rationnels en .?i et ^2-

Quant aux expressions des inconnues auxiliaires />j, /?2, Pz-, les obtient en prenant les dérivées partielles de W par rapport à <71, ^2> ^ •

Cette dernière formule donne la signification de la constante a; en effet, l’équation qui définit nous a donné pour la valeur on a

donc

équation qui exprime que le principe des aires s’applique à la projection du mouvement sur le plan car jk et 6 sont les coordonnées polaires de

la projection du mobile sur ce plan. Ce fait est évident a priori, car les deux forces agissant sur le mobile rencontrent Ox.

Dans le cas particulier où la vitesse initiale du mobile rencontrerait O^p, la trajectoire serait évidemment dans le plan MoOiO, déterminé par la position initiale et les deux centres attractifs. On peut le vérifier sur les équations : dans ce cas, la constante a serait nulle et la première des équations de la trajectoire (T) deviendrait

ce qui montre que le plan yOx resterait fixe. La deuxième équation (T) donne alors la trajectoire en coordonnées elliptiques.

Intégration de V équation d’Euler. — Supposons non seulement a = o, mais aussi = [j.2 = o; alors le planjuOa? est fixe, la trajectoire est plane et, comme il n’y a pas de forces, cette trajectoire est une droite du plan yOx. Dans ces hypothèses, la deuxième des équations (T) devient, en remplaçant f{q\) et f{q^) par leurs expressions.

v/(2(i — hqo{a — qx ) (6 — qy)

dqi

hq^) {a — q^) {b — q^)

Cette expression représente donc une droite; elle peut être identifiée avec l’équation d’une droite en coordonnées elliptiques, équation qui est évidemment algébrique en qy et q^. On retrouve ainsi, d’après Lagrange, le résultat fondamental donné par Euler, que l’équation (E) admet une intégrale algébrique; résultat qui conduit à l’addition des fonctions elliptiques.

Remarque. — On pourra, de la même façon, ramener à des quadratures le mouvement d’un point sollicité par des forces qui, dans le système des coordonnées que nous venons d’employer, dérivent d’une fonction de forces de la forme

U2— Ui qï~q\ ’

U2 étant une fonction quelconque de q^ seul et Ui une fonction de qy seul. Par exemple, on conserve cette forme de la fonction de forces en ajoutant aux forces précédentes (attractions issues de Oi et O2 en raison inverse du carré des distances) une attraction issue de O proportionnelle à la distance, une attraction perpendiculaire an plan^iO^i en raison inverse du cube de