CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
la distance 37 et une attraction perpendiculaire à Taxe O37 en raison inverse du cube de la distance jk-
Signalons en terminant un travail de M. Velde, Ueher einen Specialfall der Bewegung eines Punktes welcher von zwei festen Centren angezog'en wird (1889, Berlin, R. Gartners Verl.) {Bulletin des Sciences mathématiques, 1890, p. 125). M. Velde traite le problème du mouvement plan en supposant que les forces attractives issues des foyers Oi et O2
soient — — pri, — ^ — [xr^et que le mobile soit attiré par le centre O
proportionnellement à la distance.
308. Coordonnées elliptiques dans l’espace. — On a trouvé (n" 286)
Alors
Supposons que la fonction de forces soit de la forme U, U-2
(^'i — ^2)(^i — ^3) {q2 — q3){q^~ qi) (?3 — ^1) (^3 — ^2) ’
Ui étant fonction de qi seul, U2 de q^ seul et G3 de q-i seul. Nous aurons
Pî)
L’équation en W est donc, si nous mettons pour Mi, M2, M3 leurs valeurs (n° 286),
f(qt)
{qs— qOiq^—q^)
Pour trouver une intégrale complète de cette équation dans l’hypothèse faite sur U, remarquons avec Jacobi qu’on a identiquement, quelles que soient les constantes a et (3,
2 a -!- 2 [3^1 -h /i^l 2y. 2^ q2 hql 27. -h 2[iq hql
(qi — q2)(qi — q3) {qi—qz){q2—qx) (^3 — ^1) (5'3— ^2) ~
comme on le voit en écrivant que la somme des résidus de la fonction rationnelle en q
2a -h 2 -t- hq^-
{q ~ qOiq — qi){q — q^)
est égale à h. L’équation en W peut alors s’écrire, en remplaçant h par cette expression,
{qi — q%){q\ — qz) ' {q^i— qi){qt— q\)
^qz-q\){q-i — qi) ’
équation qui admet manifestement l’intégrale suivante :
= S /$T) ^Wi^)
où l’on a posé
2 S/ — 2 a -4- 2 |3 qi^r hqj -4- f = 1 , 2, 3 ).
En effet, cette expression de W annule chacun des trois termes de l’équation aux dérivées partielles. Les équations de la trajectoire s’obtiennent alors en égalant à des constantes les dérivées partielles de W par rapport à a et !3 :
dq \
‘ qt dqx ^
r q^dqi ^
r q% dcj ;
Dans le cas particulier où il n’y a pas de forces
U,- Uo- Ü3-0,
ces équations doivent représenter une droite en coordonnées elliptiques dans l’espace. Elles sont donc alors équivalentes à deux relations algébriques entre q^, ce qui constitue une première généralisation du résultat d’Euler rappelé à la Un de l’exercice précédent et un cas particulier du théorème d’Abel appliqué aux intégrales ultra-ellipliques de première
, • 1 • , , dW ,
espece. louant au temps, on I obtiendrait en égalant a t — ^o-
On vérifiera, à titre d’exercice, que la fonction de forces prend la forme supposée ci-dessus quand le mobile est sollicité à la fois par une attraction issue du centre, proportionnelle à la distance, et par des attractions normales aux trois plans principaux des surfaces homofocales et variant respectivement en raison inverse du cube des distances.
