CHAPITRE I

THEORIE DES VECTEURS

Remarque sur le cas oit SP/f = o. — Lorsque la somme des vecleurs P = SPyv est nulle, sans que les trois sommes SP/fjK/f, SPa^a soient milles toutes trois, le centre C des vecteurs parallèles liés est rejeté à l’infini, car une au moins des coordonnées 7\, Ç est infinie : ce point n’existe plus.

Si l’on avait à Ja fois

2P/,= o, 'LVkX/c=o, SP/,jK/t=o, I,?kZk=o,

les coordonnées Ç seraient indéterminées : le centre des vecteurs parallèles liés serait donc indéterminé.

Exemple. — On retrouve sans peine, à titre d’exemple, les propriétés élémentaires d’un système de deux vecteurs parallèles localisés en deux points Al et A2 et ayant pour valeurs algébriques Pi et P2. Quand Pi P2 est différent de zéro, le système admet un vecteur résultant, c’est-à-dire est équivalent à un vecteur unique ayant pour valeur algébrique

et localisé en un point A (centre des deux vecteurs parallèles {fig. 22) détermine par la relation

ââ; __ P2

~~ Pi’

Fig. 22.

dans laquelle, suivant les conventions habituelles de la Géométrie, le rapport des deux segments AAi et AA2 est positif ou négatif, suivant que ces deux segments sont de même sens ou de sens contraires.

Dans le cas particulier où Pi -4- P2 =0, les deux vecteurs donnés sont égaux et de sens contraires; le centre des vecteurs parallèles plus.

Les deux vecteurs forment en général un couple, à moins qu’ils ne soient directement opposés. Si Pi H- P2 étant nul les deux vecteurs sont appliqués au même point, le centre des vecteurs parallèles est indéterminé.

32. Moments des vecteurs parallèles liés par rapport à un plan. — Les formules qui donnent les coordonnées q, Ç du centre

d’un système de vecteurs parallèles localisés en des points conduisent, quand on les traduit en lan<,^age géométrique, au théorème des moments par rapport à un plan.

Étant donnés un plan II, qu’on peut toujours prendre pour plan et un axe {fig- ^S) de direction arbitraire, on appelle

Fig. 23.

moment d’une des grandeurs géométriques parallèles , par rapport à ce plan II, le produit de la valeur algébrique P* de la grandeur par la coordonnée Zh de son point d’ application, Pa^a-

Le moment ainsi défini est une quantité positive, négative ou nulle, dont la valeur dépend du point d’application de la grandeur géométrique, de sorte que ce moment change quand on la transporte en un point de sa direction. La propriété fondamentale résultant de cette définition est la suivante :

Quand des vecteurs parallèles localisés en des points ont une résultante, le moment de cette résultante par rapport à un plan est égal à la somme algébrique des moments des composantes, à condition de localiser la résultante au centre des vecteurs parallèles.

Pour le démontrer, supposons d’abord l’axe O ^ perpendiculaire au plan II; le -s du centre des vecteurs parallèles est donné par l’équation

où P = SP;i^; or cette équation exprime précisément le théorème que nous voulons démontrer.