CHAPITRE XVI

EQUATIONS CANONIQUES.

V. — APPLICATIONS AU PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION, AUX COURBES BRACHISTOCHRONES, A L’ÉQUILIBRE DES FILS.

309. Moindre action. - Point libre. — Soit un point libre de masse i sollicité par une force dérivant de la fonction de forces U(a^, y, z). Nous avons \u (n"290) que, la constante des forces vives h ayant une valeur déterminée, les trajectoires passant par deux points donnés A et B sont les courbes annulant la variation de l’action

(i) d% = j 1} ^ h ) ds.

Ces trajectoires sont aisées à trouver quand on connaît une intégrale complète de l’équation de Jacobi en W dans un système quelconque de coordonnées :

/dW dW d\\^

Vd^i ’ d^2 ’ d^3

Il est utile, pour la suite, d’écrire explicitement cette équation : nous avons vu (n° 293) que T est une forme quadratique de />i, p^, />3,

d’ailleurs H est égal à T — U. L’équation de Jacobi obtenue en remplaçant dW dW dW

P\, Pi, Pz pai' 1 — > V — J — est donc àq\ d^-2 Oq-i

VA,7. dWdW ...

/ -TT T— -t- h)

D dqt ùqi;

Soient alors W (^i, q^, q%, a, p, h') une intégrale complète de cette équation, Wo et Wi les valeurs qu’elle prend aux deux points A et B. Nous savons que les équations des trajectoires sous forme finie sont

dW , dW

avec les quatre constantes a, (3, a', (3'.

11 s’agit, pour obtenir les trajectoires passant par A et B, de déterminer ces constantes en écrivant que les équations (4) sont vérifiées par les coordonnées des points A et B, ce qui donne

dWo , dWo dWi , dW,

OU, en retranchant,

,,, ^(Wi -Wo) t^(Wi-Wo)

Ces deux dernières équations déterminent a et [3 : les précédentes (5) donnent a' et A chaque système de valeurs de a et ^ donné par les équations (6) correspond une trajectoire passant parles deux points A et B.

Théorème. — La valeur de l’action le long de cette trajectoire est donnée par la formule remarquable

— Wo-

En effet, cherchons quelle est la variation dS<[ de la fonction W correspondant à un déplacement infiniment petit dq^^^ dq^ effectué

sur la trajectoire; nous pouvons dans cette hypothèse supposer que ^1, <72, q-i sont les coordonnées du point matériel lancé de telle façon qu’iï décrive la trajectoire considérée. Alors

dW ,

dcq^

àq%

dqz

ou, en remplaçant dqi, dq-i, dq^ par q\ dt, q'^ dt^ dt et

àq-i

àqx

par leurs valeurs />i, /?3,

dV^ — {piq\ -i- p^q’^ pzq'i)dt.

àq%’

Comme /?i, p^-, pz sont les dérivées partielles de T par rapport à q\, q\^ q'^^ on a, d’après le théorème des fonctions homogènes,

d-\^=iTdtz= ^ds,

ds^

car la force vive 2, T est égale à — • Mais, d’après le théorème des forces vives, la vitesse ^ est égale à \/2(U -f- d); ce qui donne d^N = v/2(C -f- Aj ds.

La valeur de l’action calculée le long de la trajectoire de A en B est donc enfin

X= I -h h) ds = I o;W = Wi — Wo,

comme nous voulions le démontrer.