CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
310. Point sur une surface: — Les mêmes conclusions subsistent pour le mouvement d’un point sur un plan ou sur une surface fixe quelconque, quand il y a une fonction de forces.
La force vive est alors une forme quadratique de q\^ q'^ ou de px.
où
D=<Zil<3r22 ^121 Aii=Cl22j Ai2 = — <^12î A22=<*11.
H est égal à T — U et l’équation de Jacobi en W est
I r /ùw
\2 ^ dW dW
) +2Aj2-t -r h A
/ àqx d^2
Si W {q\i qï, 'y-, h) en est une intégrale complète, l’équation des trajecdW
toires est = a', et l’action le long de la trajectoire allant de A en B
-11 r A-* 7- ' J ' • ' 1 > ' • d ( W 1 W 0 ) , rr •
est Wi — vVo, a étant détermine par 1 équation — ^ = o. ( Voir,
da
pour une étude détaillée de ces propriétés, les Leçons sur la théorie des surfaces, de M. Darboux, t. II, Gbap. VI et VIL)
311. Mouvement parabolique. — Par exemple, pour le mouvement parabolique d’un point pesant dans un plan vertical, nous avons trouvé (n° 302)
W = eux — - — (2/1 — a2 — ‘igyY-
La valeur de l’action le long d’une des deux trajectoires paraboliques allant du point (a7o,jKo) au point {xx,y\) est
= a(a7i — 2:0) — ^[(2/1 -a2— 2^yi)2(2/i — a2— 2^d^o)^,
a étant une des deux racines de l’équation
(9) ^ [(2A — «î— 2ÿ-yi)'S'(2A — a2— 2ÿJKo)
Cette équation rendue rationnelle est bicarrée en a : une des valeurs de a2 étant choisie, le signe à prendre pour a est déterminé par l’équation (9),
dans laquelle le terme x\ — x^, et le coefficient de — ont des signes connus.
312. Courbes brachlstoclirones et figures d’équilibre des fils dans le cas d’une fonction de forces. — Problème de la réfraction. — Si, pour abréger, nous remplaçons dans ce qui précède 2(U + A) par (p2^ çp dési-
5g‘2 TR0ISIÈ3IE PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT.
gnant une fonction des coordonnées, nous voyons que les résultats obtenus pour un point libre s’énoncent comme il suit. Les courbes joignant deux points donnés A et B et rendant minimum l’intégrale
(lO)
sont connues dès qu’on connaît une intégrale complète W ( çi, ^3, a, .3) de l’équation de Jacobi (3) en W, dans laquelle on a remplacé 2(ü -h h) par œ‘-,
