II

A, 7, dW dW

D dqt dqu

Cp2

Elles ont pour équations

dVV

et la valeur de l’intégrale I le long d’une de ces courbes est Wi — \Vo, les constantes a et ^ étant calculées comme précédemment, à l’aide des équations (6). Par exemple, en coordonnées cartésiennes rectangulaires, il suffira d’avoir une intégrale complète de l’équation

De même, pour obtenir, sur une surface fixe, les courbes joignant deux points A et B et rendant l’intégrale J minimum, il suffira d’avoir une intégrale complète W(^i, ^2, a) de l’équation en W de Jacobi (8), dans laquelle on aurait remplacé 2(U -i-A) par de façon à avoir l’équation

dqx Oq<i

Les courbes chercbccs ont alors une équation de la forme = a', et

l’intégrale (10) le long d’une de ces courbes est Wi — Wq,

Mais nous avons vu que l’on peut ramener, à la recherche des courbes rendant minimum une intégrale telle que (10), les trois problèmes suivants :

r Figure équilibre d'un fil, libre ou mobile sur une surface, sollicité par des forces dérivant d’une fonction de forces (n° 146);

2" Problème général de la réfraction ( n° 150);

3“ Détermination des courbes brachistochrones pour un point libre ou mobile sur une surface, lorsqu’il existe une fonction de forces (n°*255 et 257).