Application au problème du n° 2G
Dans ce problème, en supposant m — 1, on a
T= — ( 6'^4- 2 a6' -t- 2 a oj ), a = w (i -h cos6 ) ;
il y a un seul paramètre 6 qui joue le rôle de de plus U = o. On doit poser
dT
Px=
II ^,6' — T - U = (6'2— 2Æw)
5g4 TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT.
OU, en fonction de />j,
réquation de Jacobi est
d\ R2 f / I dV 1
Elle admet l’intégrale complète
V=z R2^— ht-^ l"ad%-h f \/2«w H- 2h d%) avec ia constante h. L’équation du mouvement est alors
dh
= const. = — R^^o5
équation qui, d’après la valeur de «, est identique à celle du mouvement d’un pendule simple.
7. Soit une surface dont l’élément linéaii’e peut être mis sous la forme de Liouville (n° 305). Appelons i l’angle que fait en chaque point une ligne géodésique déterminée avec la courbe = const. passant par ce point. Démontrer que l’on a, tout le long de cette ligne,
Ajsin'^f + A^cos-f = const.
(Liouville, Journal de Mathématiques, i844 )
8. Appliquer la méthode du n° 305 à la recherche des lignes géodésiques du plan en employant des coox'données elliptiques dans le plan.
L’équation différentielle des lignes géodésiques ( lignes droites) est alors l’équation d’Euler. L’équation d’une droite en coordonnées elliptiques fournit alors l’intégrale de l’équation d’Euler (Lagrange, voir n® 307). L’équation qui donne l’arc de courbe géodésique (305) fournit le théorème d’addition pour les intégrales elliptiques de deuxième espèce (Darroux, Leçons sur la Théorie générale des surfaces, t. III, p. i3).
9. Appliquer la méthode du n° 305 à la recherche des lignes géodésiques de la sphère, en employant des coordonnées elliptiques sur la sphère {voir Darboux, Ibid., t. II, p. 422). On a
ds^ = ( cos 2 U, — cos 2 V ) ( ! — ^ 1 — •
\ cos 2 p. — COS2C cos 2 c — cos 2 V/
La formule relative à l’arc d’une ligne géodésique (grand cercle) donne ah)rs la formule d’addition pour les intégrales elliptiques de troisième espèce (Darboux, Ibid., t. III, p. i3).
