CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
10. Appliquer la mcthode de Jacobi à la recherche de la figure d’équilibre d’une chaînette homogène pesante d’après le n° 312.
11. En adoptant les notations du n“ 305, démontrer que l’on peut ramener aux quadratures le mouvement d’un point sur une surface de Liouville quand la
Ut — U,
fonction des forces est de la forme
U, dépendant de seulement, et
Aj — A,
U2 de q^.
Appliquer en particulier au mouvement, sur un ellipsoïde, d’un point attiré par le centre proportionnellement à la distance (Jacobi). Démontrer que, dans ce mouvement, la pression du mobile sur l’ellipsoïde varie proportionnellement au cube de la distance du centre au plan tangent à l’ellipsoïde mené par le mobile (Astor, Bulletin des Sciences mathématiques, 1889, p. 294).
12. Méthode de M. Elliot pour le cas d’une résistance proportionnelle à la vitesse. — Nous avons supposé, dans le Chapitre précédent, que les composantes X, Y, Z de la résultante des forces données appliquées au mobile sont les dérivées partielles d’une fonction U z, t). On doit à M. Elliot l’ingénieuse re-
marque que l’on peut encore mettre les équations sous forme canonique et, par suite, appliquer le théorème de Jacobi quand à la force X, Y, Z vient s’ajouter une résistanee proportionnelle à la vitesse. Prenons, par exemple, le mouvement d’un point de masse i sur une surface fixe ou mobile z, t) — o, sollicité
f . . . dU dU dU , . ^ ^ . ,, , ,
par une force de projections — > résistance proportionnelle a la
vitesse de projections — k du mouvement sont
dx
dt'
dt
k {k constante). Les équations
d'^x dx
~~^~di
dx
, ^ àf
Faisons le changement de variable indépendante t' = e~^^, en prenant t' pour nouvelle variable ; nous avons
~di
~kt'—.
dt'
~dF
dt dt ^
et la première équation devient
dt'"^ k^t"^ dx k^t"^ dx'
les deux autres se transforment de la même façon. Donc, en posant
et
les équations prennent la forme
dt- ~ dx dx’
équations du mouvement d’un point, sans résistance de milieu, sur la surface f (^x,y, Z, — - log — O. On pourra appliquer à ce dernier mouvement les méthodes de Poisson, Hamilton, Jacobi; une fois qu’on aura trouvé sous forme finie les intégrales générales des équations du mouvement (2), il suffira d’y remplacer t’ par 6“*^' et l’on aura les intégrales générales des équations (i) du mouvement demandé.
La même méthode de transformation s’applique évidemment au mouvement d’un point libre ou assujetti à glisser sur une courbe fixe ou mobile, quand le point est sollicité par une résistance de milieu proportionnelle à la vitesse ( Elliot, Comptes rendus, 1898, et Annales de V École Normale, août i8q3).
13. Appliquer la méthode précédente de M. Elliot aux exemples suivants:
1“ Mouvement d’un point sur une surface fixe dans laquelle
ds^ = E du- -1- 2 F du dv-\- C de-,
la fonciion des forces étant U et le point étant soumis à une résistance de milieu k \ proportionnelle à la vitesse V.
Résultat. — Si W ( i/, c, a, ) est une intégrale complète de l’équation
\ ôu ) ^ du Ov
EG - F2)(oA W— 2U)
les équations du mouvement sont
