CHAPITRE XVI. — ÉQUATIONS CANONIQUES
les équations d’équilibre peuvent se mellre sous la forme canonique
cl g., dH cls ~ Op^ ’
dll ds ~ ùq,,
Appliquer à ces équations le lliéorème de Jacobi. On retrouve ainsi le théorème de Clebscii {Journal de C relie, t. 57). (Voir Compter rendus, t. XGVI, i883, p. 088, et une Note de M. Marcoloxgo, Rendiconti délia R. Accademia delle Scienze di Napoli, i888. )
15. Réduire de même à la forme canonique les équations d’équilibre d’un fil glissant sans frottement sur une surface {Comptes rendus, i883, t. XGVI,
16. Le déterminant des coefficients de q\, cp, dans les équations (2) du n“ 292, est le carré du déterminant fonctionnel de x, z considérés comme fonctions de q^, q^, q.y
17. Un point matériel glisse sans frottement sur la surface d’un ellipsoïde homogène de révolution et est attiré par les éléments de l’ellipsoïde suivant la loi de Newton. Trouver le mouvement (Jacobi, Crelle, t. 24).
[D’après la théorie de l’attraction, l’atti'action de l’ellipsoïde sur le point a pour projections X = — fx, \ ~ — fy, Z = — gz^ / et ^ désignant des constantes et l’axe étant l’axe de révolution {voir t. III ). ]
18. Mouvement d’un point soumis à l’attraction newtonienne de deux centres mobiles parcourant une circonférence fixe, de telle façon qu’ils soient constamment aux deux extrémités d’un diamètre et que le mobile se trouve toujours dans le plan déterminé par ce diamètre et Taxe de la circonférence (Desboves, Journal de Liouville, t. XIIlj).
19. Dans le cas des coordonnées elliptiques planes, le problème se ramène à des quadratures quand la fonction des forces est de la forme
dans l’espace, le problème se ramène à des quadratures quand elle est de la forme
I cp
ql
UpUj, U3 étant respectivement fonctions de q^ q.^ q.^ (Ltouville, Journal de Liouville, t. XII;).
Vérifier qu’on peut mettre sous celte forme une fonction des forces inverse-
5g8 TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT.
ment proportionnelle à la puissance du point mobile par rapport à l’une des surfaces homofocales, par exemple
(CGC \
on trouve U,, U^, U3 égaux à — , —, —1 G désignant une constante ) {Bulletin
de la Société mathématique de France, t. XIX, p. 102),
On peut mettre sous cette même forme la fonction des forces pour un point glissant sur un ellipsoïde et attiré par le centre proportionnellement à la distance {voir Liouville, Journal de Liouville, t. XIIj) ; la même question est traitée par Schellbach {Crelle, t. 44, p. 38o).
Dans ce Mémoire, Schellbach étudie aussi le mouvement d’un point sur un ellipsoïde avec une résistance de milieu ayant pour expression ap-f-jâp*, où a est fonction de i et de l’arc s de trajectoire.
20. Dans le système des coordonnées elliptiques planes, on suppose un mobile
sollicité par une force dérivant de la fonction U, et U« dépendant res-
qx-Ji
pectivement de et q... Que devient le problème quand les deux foyers se rapprochent indéfiniment jusqu’à se confondre en O ?
Réponse. — En faisant, dans la formule du n° 287, a = 6 + e, où s est infiaiment petit, on ti’ouve q^ = a — p.s, q^ = a — /•-, a;- = = {1 — jr ) r-,
vb ( U. ) — CO ( r ~ )
U = - — ï , r désignant le rayon vecteur issu du centre. U est donc la
somme de deux parties dont l’une dépend de r seul et dont l’autre est homogène et de degré — 2 par rapport aux coordonnées (Liouville, Journal de Liouville, t. XQ).
21. Le système de coordonnées elliptiques et ses cas limites (coordonnées rectangulaires quand les deux foyers sont à l’infini, coordonnées paraboliques quand l’un des foyers est à l’infini, coordonnées polaires quand les deux foyers sont confondus) sont les seuls systèmes réels qui permettent de mettre le carré de l’élément linéaire du plan sous la forme de Liouville
ds-^= [cp(a)-cj.(.3)][c?,(a)cZa2-cj;,(.Q)rfp^].
(Liouville, Journal de Liouville, série, t. XI et XII. ) Voir les Mémoires couronnés. Comptes rendus, séance publique, décembre 1892, p. 1122.
22. Gonnaissant une intégrale complète W(.r, jk, -s, a, jâ, /i) de l’équation aux dérivées partielles du n° 300, on peut toujours en déduire une intégrale W' de cette même équation qui s’annule sur une surface donnée v>{x, y, z) ■=. 0. (Méthode de Lagrange pour déduire l’intégrale généi'ale d’une intégrale complète.) Gette intégrale étant déterminée, les trajectoires normales à la surface donnée sont normales aux surfaces W' — const., et l’action sur la portion d’une de ces trajectoires comprises entre deux de ces surfaces est la même pour toutes les trajectoires. ( Lof/- Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. II, Ghap. VI et VIL)
