CHAPITRE I. — THÉORIE DES VECTEURS
Soit O' R' cet axe. Désignons par R', G' la résultante générale du système et le moment résultant en O'. R' est égale à R; il faut calculer G', ou plutôt le rapport
K =-,77> c’est-à-dire la flèche du lorseur résultant. Or le rapport de G' à R' est
égal au rapport de leurs projections L', X sur l’axe des æ;. On trouve ainsi
L' zY,
'^ = -xï+ÿ"’
le torseur résultant est entièrement déterminé.
14. Chercher le lieu du torseur résultant O' R' G' de l’exercice précédent, quand les flèches }; et p. des torseurs composants restent constantes et que leurs intensités X et Y sont variables.
La surface cherchée est le conoïde
z{x‘^ -h — ( p. — 'X ) xy.
Ce conoïde a reçu de Cayley le nom de cylindroïde; Rail a montré qu’il partage avec les cylindres cette propriété que le lieu des projections d’un point quelconque sur les génératrices est une courbe plane. On s’assure, de plus, que cette courbe est une conique, en vérifiant que le lieu des projections d’un point quelconque de l’espace sur les génératrices du cylindroïde est une conique.
15. Démontrer d’une manière générale que le torseur résultant de deux torseurs quelconques, de positions fixes, engendre un cylindroïde lorsque les flèches des torseurs composants restent constantes, leurs intensités étant variables.
On prendra pour axe O .s la perpendiculaire commune aux deux torseurs.
16. De toutes les surfaces réglées non cylindriques, le cylindroïde est la seule qui possède la propriété que le lieu des projections d’un point quelconque sur les génératrices soit une courbe plane {voir Appell, Bulletin de la Société mathématique, décembre 1900; Rrigard, Ibid., janvier igor; Demoulin, Ibid.).
17. Un système de vecteurs glissants quelconques est toujours équivalent à six vecteurs dirigés suivant les six arêtes d’un tétraèdre.
18. Soit SABC le tétraèdre. Prenons pour sens positif sur les arêtes issues de S les sens SA, SB, SC; puis, sur chaque arête de la base, telle que AB, le sens des rotations positives AB autour de l’arête opposée SC, et appelons y\, Ç,X, fx, v les valeurs algébriques des six vecteurs dirigés suivant SA, SB, SC, BC, CA, AB. Démontrer que l’invariant LX H- MY -f-NZ a pour valeur
[bc sa
Ji A X1 SB AB SC J ’
V désignant le volume du tétraèdre donné.
19. Pour que le système des vecteurs glissants soit équivalent à zéro, il faut et
il suffit que les six composantes X, p., v soient nulles.
20. Pour qu’un système de vecteurs glissants soit équivalent à zéro, il faut et n suffit que la somme des moments par rapport à chacune des six arêtes d’un tétraèdre soit nulle.
21. Un système de vecteurs glissants, tous situés dans un même plan, est équivalent ou bien à une résultante unique, ou à un couple, ou à zéro.
22. Un système de vecteurs glissants, tous situés dans un même plan, est équivalent à trois vecteurs dirigés suivant les côtés d’un triangle arbitrairement choisi dans ce plan.
23. Pour que la dérivée géométrique d’un vecteur lui soit constamment perpendiculaire, il faut et il suffit que ce vecteur ait une longueur constante.
24. Pour que la dérivée géométrique d’un vecteur soit constamment dirigée suivant ce vecteur, il faut et il suffit que ce vecteur ait une direction fixe.
