MI

Faisant tendre vers ration MJ à l’instant t

(MJ)

dt

MH

dx A —

dt

dt

Ai ’

"ÂT’

zéro.

on a po

md

’ df^ ’

son t

dz ^ dit

~Ii~

Hodographe. — On ramène facilement la notion d’accélération à celle de vitesse. Par un point fixe arbitraire A, menons un vecteur Am égal et parallèle à la vitesse MV du mobile à l’instant t (fig. 3i, II). Quand Avarie, le vecteur Am change, et son extrémité constitue un nouveau mobile parcourant une trajectoire h appelée hodographe. La vitesse de ce nouveau mobile mj est, à chaque instant, égale à l’accélération du premier M. En effet, à l’instant t H- A^, le mobile m occupe une position m^ telle que Km^ soit égal et parallèle à M, ou à MU : par conséquent, mm, est égal et parallèle à VU ou à MH. La vitesse moyenne du mobile m pendant l’intervalle Ai est un vecteur mi dirigé suivant mm, et

égal à ’ cette vitesse mo^yenne mi est donc égale et parallèle

à l’accélération moyenne Ml du premier mobile M. En faisant tendre Ai vers zéro, on voit que la vitesse mj du mobile m à l’instant i est égale à l’accélération MJ du mobile M au même instant.

Soient, par exemple,

(i) a? = ai2+ 6i + c, y = a! h' t c\ z = a" b" t ^ c" ,

a, è, c, a', 6', c', a'\ b\ c" désignant des constantes. La trajectoire est alors une parabole.

Les projections de la vitesse sont

dx

-J- = lat H- 6, dt

— J — = 'i.CL t — 1~ b ,

— — 2a"iH- b" ; dt

celles de l’accélération

sont constantes. L’accélération est donc constante en grandeur, direction, sens. Réciproquement, si, dans un mouvement, l’accélération est constante en grandeur, direction, sens, ce mouvement est défini par des équations de la forme ( i ). En effet, en partant des équations (3), on remonte successivement par des intégrations aux équations (2), puis aux équations ( i ). Ce mouvement sera étudié en détail à propos du mouvement des corps pesants dans le vide.

Il est important de remarquer que, si l’accélération d’un mouvement est constante en grandeur, direction et sens, l’accélération moyenne pendant un intervalle de temps quelconque a la même valeur constante en grandeur, direction et sens. En effet, les équations (3) étant supposées satisfaites, on en déduit par l’intégration les équations (2), qui donnent, pour les projections de l’accélération moyenne pendant le temps tst, les mêmes valeurs 2a, 2a', la" que pour les projections de l’accélération à l’instant t.

Dans cet exemple, l’hodographe est une droite parcourue d’un mouvement uniforme.

41. Accélérations tangentielle et normale (Huygens). — Supposons le mouvement défini géométriquement par la trajectoire

Fig. 32.

et par l’expression de l’arc MoM ou 5, compté positivement dans un sens déterminé Mo S, en fonction du temps {fig> 32).

Soient a, [3, y les cosinus directeurs par rapport à des axes rectangulaires de la tangente MT menée à la trajectoire dans le sens des arcs positifs, et a', y' les cosinus directeurs de la normale principale MN comptée positivement de M vers le centre de cour-