CHAPITRE II. — CINÉMATIQUE
bure principal C; soit enfin MG = p le rayon de courbure principal de la trajectoire.
Des formules bien connues de Frenet et Serret donnent
dcL
ds
On a évidemment dx dx ds
ds
ds
dt
ds
ds dt dt
dy
dt
dz
ds
dt dt
/dsy
[dt) ’
(dsy
[dt) ’
\ dt )
Différentions encore une fois par rapport à en ayant soin d’écrire
d% dcL ds a' ds
dt ds dt ç dt’ ’
nous aurons pour les projections de l’accélération
d^x d^s dr- ^ dt^
dV- ^ dV^ d‘'-z __ d'^s
Un
Ces formules s’interprètent aisément. Portons sur la tangente, en prenant MT comme sens positif, un segment MJf dont lava-
leur algébrique J; soit et, suivant la normale MN, un segment
égal à ^ formules expriment que la projection de
l’accélération MJ sur chacun des trois axes est égale à la somme des projections des deux grandeurs géométriques MJ; et MJ/^ ; dans l’espace, l’accélération MJ est donc la résultante des grandeurs MJ; et MJ„, que l’on nomme accélération tangentielle et accélération normale. La projection J; de l’accélération MJ sur la
ds
tangente MT s’écrit, en remplaçant ^ par u, d'^ s
dn
dt
dv ds ds dt
1 dv^
La projection J„ sur la normale MG est toujours positive :
ô[dt =7*
L’accélération MJ est donc située dans le plan oscillateur , du côté de la concavité de la trajectoire.
Exemples. — i‘' Si le mouvement est rectiligne, p est infini, la composante normale s’annule; l’accélération se confond alors avec sa composante tangentielle. Réciproquement, si l’accélération normale est constamment nulle, P est infini et la trajectoire est une droite.
2° Si la vitesse est constante en grandeur, c’est-à-dire si le mouvement curviligne est uniforme, l’accélération tangentielle est nulle; l’accélération est dirigée suivant la normale principale et varie en raison inverse du rayon de courbure. Ainsi, lorsqu’un mobile parcourt une circonférence de rayon R, avec une vitesse de grandeur constante p, l’accélération tangentielle est
nulle; l’accélération J est normale et égale à — , c’est-à-dire constante en
grandeur et dirigée suivant le rayon. Réciproquement, lorsque, dans un certain mouvement, l’accélération tangentielle est constamment nulle, la vitesse est constante en grandeur et le mouvement uniforme.
Emploi des dérivées géométriques. — On peut dire que le vecteur vitesse MV d’un mobile M est la dérivée géométrique, par rapport au temps, du vecteur OM joignant un point fixe O au mobile M. Gela résulte de la définition même de la vitesse.
Le vecteur accélération MJ est équipollent à la dérivée géométrique d’un vecteur Am, d’origine fixe A, équipollent à la vitesse ; cela résulte de la définition de l’accélération à l’aide de l’hodographe.
