CHAPITRE II. — CINÉMATIQUE

obtenu en joignant iin point A du corps {^fig> 33) à trois points B, C, D du corps, non situés dans un même plan avec le point A, se déplace parallèlement à lui-même.

Quand un corps estanimé d’un mouvement de translation, tous les points du corps ont à chaque instant la même vitesse et réciproquement. En effet, soient A^ , .s, ) et A2 (.272, ^2) deux

points quelconques du corps; le segment A^ A2 se déplaçant parallèlement à lui-même, ses projections sur les axes .272 — y 2 — y\^ Z2 — sont constantes. Leurs dérivées par rapport au temps sont donc nulles, et l’on a

dxx dx2 dyx dy^ dz^ dz^

* dt dt ’ dt dt ^ dt dt ’

équations qui expriment que les deux points ont même vitesse. Réciproquement, si tous les points du corps ont à chaque instant même vitesse, le corps est animé d’un mouvement de translation. En effet, les deux points A^ et A2 ayant même vitesse, on a les équations ( i ), d’où l’on conclut en intégrant que

— Z2 sont constantes, c'est-à-dire que le segment A^ A2 se déplace parallèlement à lui-même. La vitesse commune à tous les points s’appelle vitesse du mouvement de translation. On voit immédiatement en différentiant les équations (i) que, dans un mouvement de translation, tous les points ont, à chaque instant, la même accélération, qu’on appelle accélération du mouvement de translation.

43. Rotation autour d’un axe fixe. Vitesse angulaire. Représentation géométrique. — Quand un corps solide tourne autour d’un axe fixe AB i^fig. 34), chaque point M du corps décrit un cercle perpendiculaire à l’axe, ayant son centre en P sur l’axe ; sa vitesse est donc normale au plan MAB dans le sens du mouvement. Les arcs décrits dans le même temps par deux points différents sont proportionnels aux distances de ces points à l’axe ; les vitesses de ces deux points sont donc entre elles comme leurs distances à l’axe.

On nomme vitesse angulaire la vitesse des points situés à l’unité de distance de l’axe; si l’on désigne par w cette vitesse angulaire, la grandeur de la vitesse V du point M est donc coMP,

MP étant la distance du point IVI à Taxe. Lorsqu’on définit le mouvement de rotation en donnant en fonction de t l’angle 8 dont le

corps a tourné à partir d’une position initiale, to est égal à

Fig. 34.

Pour déterminer les vitesses dans un mouvement de rotation à un instant il faut connaître trois éléments : V axe de rotation, la vitesse angulaire et le sens de la rotation. On représente ces trois éléments par un vecteur de la façon suivante : prenons sur l’axe de rotation AB un point quelconque A, et portons sur l’axe un segment Aw^de longueur w, dans un sens tel qu’un observateur, ayant les pieds en A et la tête en o), voie le mouvement de rotation s’effectuer de sa gauche vers sa droite. La grandeur géométrique Ao) ainsi définie représente la rotation : en confondant le mouvement de rotation avec le vecteur qui le représente, on dit souvent que le corps est animé d'aune rotation Aw. Gomme le point A, origine du vecteur, peut être choisi où l’on veut sur l’axe, on peut, sans changer la rotation, transporter le segment représentatif O) en un point quelconque de sa direction : une rotation est donc représentée par un vecteur localisé sur une droite; ce vecteur est d’ailleurs axial (n" 34).

44. Expressions analytiques des projections de la vitesse d’un point du corps. — Soient Ao) {fig. 35) la rotation de vitesse angulaire to; p, q, r ses projections sur les trois axes Ox^ Oy, Oz supposés rectangulaires; Xq, yo, Zq les coordonnées du point A. Soient M un point du corps ayant pour coordonnées x.f y, z] MV sa vitesse; Vj, les projections de cette vitesse sur les trois axes : ce sont ces quantités que nous allons calculer.

Pour cela, remarquons que la vitesse V de M est en grandeur, direction et sens le moment de la rotation Aoi par rapport au