CHAPITRE II. — CINEMATIQUE

les mêmes que si le corps S2 était animé d’une translation dont la vitesse serait égale à l’axe du couple {^fig. 40-

48. Rotations en nombre quelconque. — Soit un corps Si animé d’une rotation AiWi, ce corps entraîne un axe A2102 et un corps S2, dont le mouvement relatif par rapport à Si est une rotation (O2; le corps S2 entraîne un axe Ascus et un corps S3, dont le mouvement relatif par rapport à S2 est une rotation 0)3; et ainsi de suite jusqu’à un corps S^^, dont le mouvement relatif par rapport à S;^i est une rotation

Nous dirons, pour abréger, que le corps S^ est animé simultanément des rotations Wi, 0J2, ..., Cherchons la vitesse absolue d’un point M invariablement lié au dernier corps solide S,i. Cette vitesse est égale au moment résultant du système de vecteurs Wi, 102, ..., par rapport au point M. Comme cette proposition a été établie pour le cas de deux rotations, il suffit, pour l’établir dans toute sa généralité, de montrer que, si elle est vraie pour {n — i) rotations, elle est encore vraie pour n. Or la

vitesse absolue d’un point M du corps 8,^ est la somme géométrique de sa vitesse relative V,. par rapport au corps S/j i et de sa vitesse d’entraînement Ve {fig- 42)-

La vitesse relative de M par rapport à S„i est la vitesse due à la rotation tü„, c’est-à-dire le moment de par rapport à M ; la vitesse d’entraînement du point M est égale à la vitesse qu’il aurait s’il était invariablement lié au corps S«i, c’est-à-dire au moment résultant de Wi, 002, •••, par rapport à M : la AÛtesse absolue qui est la résultante de ces deux moments, est donc bien le moment résultant des vecteurs a>2, ..., par rapport à M. Cette vitesse est indépendante de l’ordre des rotations.

Le problème qui consisterait à combiner entre elles de la même manière

Fig. 4i.

Fig. 42

des rotations et des translations se ramène au précédent, en remplaçant chaque translation par un couple de rotations.

Cela posé, imaginons un second système de vecteurs lo^, équivalent au premier toi, 105, . .., c’est-à-dire pouvant se déduire du premier par les opérations élémentaires. Les deux systèmes de rotations représentés par ces vecteurs donneront au point M la même vitesse; ils peuvent donc se remplacer l’un l’autre quand on ne considère que les vitesses.

Voici les deux conséquences les plus importantes de ce fait : i" Un système de A^ecteurs est équivalent à deux vecteurs, dont l’un passe par un point pris à volonté. Donc les vitesses des points du corps S/, sont les mêmes que si le corps était animé de deux rotations, dont l’une passe par un point pris à volonté (Chasles).

2° Un système de vecteurs est équivalent à un vecteur unique o> passant par un point arbitraire O et à un couple d’axe OVq. Donc les vitesses des points du corps Sn sont les mêmes que si ce corps était animé d’une rotation unique Oco, appliquée en un point arbitraire O, et d’un couple de rotations d’axe OVo, c’est-à-dire d’une translation de vitesse OVq 43 )•

Quand le point O change, la rotation Ow reste la même, la translation OVq change, mais le produit g = OVo cos (tu, Vo) reste constant.

Si DD' est l’axe central du système des vecteurs tui, 0J2, ..., tu„, ce système est équivalent à un vecteur unique tu (rotation) dirigé suivant DD' et à un couple d’axe minimum g (translation de vitesse g) dirigé également suiA^ant DD'. Les vitesses des points du corps sont donc les mêmes que s’il était animé d’une rotation tu et d’une translation g dans la direction de cette rotation; ce mouvement identique à celui d’une vis dans un écrou 6xe s’appelle mouvement hélicoïdal; l’axe DD' est l’axe instantané de rotation et de glissement.

49. Cas particuliers. — Signalons les cas particuliers suivants, qui sont, avec d’autres expressions, les difterents cas étudiés dans la théorie des A^ecteurs (n“ 26). Si le moment minimum g est nul, le système des rotations données est équivalent à une rotation unique autour de l’axe central.