CHAPITRE II
CINEMATIQUE.
Si O) est nul, le système est équivalent à une translation unique. Si w et V(, sont nuis, le système des rotations est équivalent à zéro; les vitesses de tous les points du corps S,i sont nulles.
50. Conséquences géométriques. — H est évident que chacun des théorèmes énoncés dans le premier Chapitre, sur la théorie des vecteurs glissants, en donnera un sur les rotations et les translations imprimées à un corps S,?, si l’on remplace les vecteurs par des rotations, les couples par des translations de vitesse égale à l’axe du couple, et le moment résultant relatif à un point M par la vitesse que possède ce point dans le mouvement du corps. Les théorèmes de Géométrie relatifs aux plans et à leurs foyers, aux droites conjuguées, aux droites de moment nul, auront des significations simples; par exemple, si un plan II est invariablement lié au corps S„ en mouvement, le foyer de TT est le point de ce plan dont la vitesse lui est normale, etc.
Le fait qu’un nombre quelconque de rotations et de translations appliquées à un corps solide impriment à ses différents points les mêmes vitesses qu’un mouvement hélicoïdal, trouve sa véritable raison dans ce théorème que, dans le mouvement le plus général d’un solide, les vitesses à un instant sont les mêmes que dans un mouvement hélicoïdal. C’est ce que nous allons démontrer.
ol. Distribution des vitesses dans un corps solide mobile. —
Rapportons le mouvement à trois axes rectangulaires O, fixes dans l’espace; et, pour définir la position du corps, supposons trois axes rectangulaires mobiles OïV,y, z orientés comme les premiers, invariablement liés au corps (/Ig. 44)* R suffira de connaître le mouvement de ces axes, qui sera défini par les expressions des coordonnées ïCq, jKo? de l’origine mobile et des neuf cosinus directeurs des axes mobiles par rapport aux axes fixes en fonction du temps. Nous supposerons ces neuf cosinus donnés par le Tableau suivant :
Gti
Tl
Soit M un point du corps, ayant pour coordonnées y, z par rapport aux axes mobiles, x,,yf, Zi par rapport aux axes fixes.
Fig. 44.
Les nombres x, y^ z seront constants, car le point M est invariablement lié aux axes mobiles.
Les formules de changement de coordonnées donnent
iTi = -h a a; -f- «1 JK -H «2 JKi + (3,jk ^2^,
zi = ^0-^ T^ + TiJF + Ï2^-
En différentiant ces expressions par rapport à nous aurons les projections de la vitesse du point M {fig . 44) sur les axes fixes :
dxx
dxQ
da
dy.x
doL^
dt
dt
^~dt'
r dy^
__ dy^
y'=iû-
dt
dt
dt ’
. dz^
dz()
, dy
«?Yi
dt
dt
dt
dt
dt
Pour interpréter ces formules d’une façon simple, cherchons les projections de la vitesse V sur les axes mobiles, projections que nous appelons V^;, Vj, V^. On a évidemment
V^=a,V.,+ p,V^,-4-YiV=o
Calculons les seconds membres en y remplaçant Va;^, par les expressions ci-dessus, et remarquant que les quantités telles que
dt
dt
