CHAPITRE H. — CINEMATIQUE
sont milles, en vertu des relations
Puis, tenons compte des relations aia2-4- p»i ^2+ T1T2 = O, aa2+ P»[32H- YY2 = O, aai 4- -+- yyi = o, qui donnent, par différentiation par rapport à les formules
o?ai . d-^y f da^ d^i dy^\
— + Ps 4- + T! 4r = - ( “• — + Pi 4r ï<
dt
doi<i
~dt
da
dt
dt
dt
dt
dt da ^ dt
dy.A
dt ^ dt
dt
dt
ti \ =
dt dt
dont nous posons les deux termes égaux à des quantités />, r. Nous trouverons ainsi
{formules fondamentales )
( y x=^y%-^ qz — ry, Vy = V° -1- rx — pz^ Vz = ^l^py — q^A
V®, V®, V® désignant les projections de la vitesse V® du point O sur les axes mobiles :
Ces formules ont une signification simple. Elles montrent que la vitesse V de chaque point M du corps solide est la somme géométrique de deux vecteurs; l’un V®, le même pour tous les points M, égal et parallèle à la vitesse du point O; l’autre u, variable avec la position du point M et ayant pour projections sur les axes mobiles qz — /y, rx — p^^py — qoc. Le vecteur V® est la vitesse que posséderait le point M, si le corps solide était animé d’un mouvement de translation de vitesse V®; le vecteur u est la vitesse que posséderait ce même point, si le corps solide était animé d’une rotation Oo), ayant pour projections p, q^ r sur les axes mobiles; cette rotation se nomme rotation instantanée. On exprime ce fait en disant que la vitesse d’un point quelconque du corps est la résultante une xntesse de translation égale à la vitesse
d' an point quelconque O du corps et d’une vitesse de rotation autour d’ un axe passant par O.
Les füi-mules ci-dessus sont foudamenlales pour la Cinématique. Quand le mouvement du corps solide est donné, les six quantités V®, V®, q, r sont des fonctions connues du temps. Réci-
proquement, si ces quantités sont données en fonctions du temps, on peut trouver le mouvement du trièdre. (Vojez Leçons de Géométrie^ de M. Darboux, t. J, cliap. Il, et Leçons de Cinématiques, de M. Koenigs, p. i 19.)
Les composantes de la viiesse, suivant les axes fixes 0< jKii Oj -Si, sé déduisent immédiatement de ce résultat. D’abord les projections de V® sur les axes fixes sont
dx^) dyo dzç) ^ dt ’ dt ’ dt ’
puis, en désignant par p^, , /•^ les projections de la rotation-
instantanée Ocl) sur les axes fixes, on a, d’après les formules relatives aux rotations ( n® 44), l’expression suivante pour la projection du vecteur u sur l’axe Ox^ :
— Zç,) — JKo).
La projection de la vitesse V sur Oxi est donc
dXf dxa
on a deux formules analogues pour et .
52. Axe instantané de rotation et de glissement. Mouvement hélicoïdal tangent. — L’état des vitesses des différents points du corps solide, étant le même que si le corps était animé d’une rotation Ota et d’une translation OV®, est le même que si le corps était animé de trois rotations simultanées, la rotation Oto et deux rotations (o®, — formant un couple d’axe OV®. D’après ce que nous avons vu dans la théorie de la composition des rotations, Létat des vitesses sera le même que si le corps était animé d’un mouvement hélicoïdal autour de l’axe central du système de vecteurs O), to®, — Cl)® ; les équations de cet axe s’obtiendront en cherchant le lieu des points dont la vitesse est parallèle à la direction de la rotation instantanée cl) ( fig. 45)- On a ainsi pour les équa-
