CHAPITRE II. — CINEMATIQUE

lions de Taxe Instantané DD' de rotation et de glissement, par rapport aux axes mobiles,

V^-r- — rjK ^ rx — pz ^ py — g x

Kig. 45.

et, par rapport aux axes fixes, dxo

Zq) — Jo)

dy^

ri{xi — Xo) —p^(z. — zo)

g étant le glissement estimé positivement dans le sens de w, la valeur commune de tous ces rapports est

dxf^ dyçs dzQ

n g /oVo /-V2 ^ ' ”

dt ' dt

Les cas particuliers qui peuvent se présenter sont les suivants : si f est nul, le glissement est nul; si est infini, la rotation est nulle.

Le mouvement hélicoïdal ainsi défini est dit tangent au mouvement réel du corps à l’instant car l’état des vitesses est le même dans les deux mouvements, mais non celui des accélérations.

53. Grandeur de la vitesse d’un point du corps. — Prenons un point M du corps situé à une distance 0 de l’axe instantané de rotation et de glis-

sement DD'. La vitesse due à la rotation est un vecteur MU perpendiculaire au plan MDD' égal à o>S ; la vitesse due à la translation est un vecteur M^ égal et parallèle à g. La vitesse résultante V est donc dans un plan perpendiculaire à o; elle est donnée par

V2 = to2 82 i ^2^ tangVM^= — .

Si M est sur l’axe DD', sa vitesse égale à g est dirigée suivant l’axe. Quand M décrit la droite S perpendiculaire à DD', Y engendre un parabo-

loïde hyperbolique. Ces propositions donnent, sous une forme simple, la distribution des moments résultants autour de l’axe central dans un système quelconque de vecteurs, w étant la résultante générale et g le couple minimum (n° 17).

54. Mouvement continu. — Le lieu géométrique de Taxe instantané de rotation et de glissement, dans le corps, est une certaine surface réglée S dont on obtiendrait Féquation en éliminant ^ entre les équations (D) de l’axe par rapport aux axes mobiles; le lieu du même axe dans l’espace absolu, c’est-à-dire par rapport aux axes fixes, est une autre surface réglée dont on obtiendrai t l’équation à l’aide des équations (D^). A un instant quelconque, ces deux surfaces ont une génératrice commune qui est Taxe instantané à cet instant. Elles sont de plus tangentes le long de cette génératrice. En effet, imaginons un mobile M qui décrit une courbe quelconque située sur la surface fixe de façon à se trouver, à chaque instant i, sur l’axe instantané constituant la génératrice commune à cet instant. Ce même point décrira, par rapport au corps solide mobile une courbe située sur la surface mobile S liée au corps. A l'instant t la vitesse absolue de ce point M est tangente en M à la surface Si, sa vitesse relative au corps est tan-

Fig. 46.

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genle en M à ]a surface 2; enfin, sa vitesse d’cnlraînenienL V^, dans le mouvement du corps, est dirigée suivant la génératrice commune MG, car, cette génératrice étant Taxe instantané de rotation et de glissement, tous les points du corps appartenant à cette droite ont uniquement une vitesse de glissement dirigée suivant la droite. Comme le vecteur est la somme géométrique de Vr et Ve, ces trois vecteurs sont dans un même plan. Le plan de et Ve, c’est-à-dire de et de MG, est tangent à la surface ^ le plan de V^ et Ve, c’est-à-dire de VV et de MG, est tangent à S. Ces deux plans étant confondus, les surfaces S et sont tangentes au point M : comme ce point est pris arbitrairement sur la génératrice, les surfaces S etS^ sont tangentes tout le long de la génératrice.

Dans le cas particulier où Viserait Viserait identique

à Yai et les deux plans tangents déterminés par MG et V«, MG et Vr seraient encore confondus.

On peut donc se rej)résenter le mouvement général d’un solide de la façon suivante, qui a été indiquée par Poncelet :

Une surface réglée liée au solide se meut sur une surface réglée fixe à laquelle elle est tangente suivant une génératrice et sur laquelle elle roule en glissant le long de cette génératrice.

Examinons quelques cas particuliers de ces théorèmes.

55. Le corps solide a un point fixe. — On peut prendre ce point fixe pour origine O des axes fixes et des axes mobiles. La vitesse du point O étant nulle, les vitesses des différents points du corps sont les mêmes que si le corps tournait autour d’un axe passant par le point fixe (Euler) ; cet axe se nomme axe instantané de rotation; l’axe du mouvement hélicoïdal coïncide avec lui, mais le glissement du mouvement hélicoïdal est nul; la rotation instantanée seule subsiste. Le mouvement fini du corps s’obtient en faisant rouler le cône G de sommet O, lieu des axes instantanés dans le corps, sur le cône G, de même sommet, lieu des axes instantanés dans l’espace.

Les points du corps situés sur une sphère de centre O forment une figure sphérique de forme invariable mobile sur cette sphère. Les cônes G et Ci de sommet O coupent cette sphère suivant deux courbes c et Ci, la première c invariablement liée à la figure sphé-

riqiie mobile, l’antre c, fixe sur la sphère. Le mouvement de la ligure sphérique s’obtiendra en faisant rouler la courbe c liée à cette figure sur la courbe fixe .

56. Le corps se déplace parallèlement à un plan fixe. — Les vitesses des différents points du corps sont alors parallèles à un plan fixe II : on peut considérer ce cas comme limite du précédent lorsque le point fixe O s’éloigne indéfiniment dans une direction perpendiculaire au plan H. Une sphère de centre O passant par un point déterminé du corps se réduit alors à un plan parallèle au plan II ou, si l’on veut, à ce plan lui-même; tous les points du corps situés à un certain instant dans ce plan j restent indéfiniment et forment une figure plane de forme invariable mobile sur un plan fixe. Le mouvement hélicoïdal instantané se réduit alors à une rotation dont l’axe est perpendiculaire au plan II. I^e lieu des axes instantanés de rotation dans le corps est un cjlindre G, dans l’espace un cylindre de génératrices perpendiculaires au plan H; le mouvement fini s’obtient en faisant rouler sans glissement le cylindre C sur G,. Les points du corps situés dans le plan II forment une figure plane invariable dont le mouvement fait évidemment connaître celui du corps entier. Les vitesses des différents points de cette figure à un instant t sont les mêmes cpie si cette figure tournait autour d’un point I de son plan, situé à l’intersection du plan n et de l’axe instantané : ce point I s’appelle /e centre instantané de rotation de la figure plane. Le mouvement fini s’obtient par le roulement de la section droite c du cjlindre G par le plan n sur la section droite Ci du cjlindre G, par ce même plan.

57. Roulement et pivotement d’une surface mobile sur une surface fixe. — Imaginons un corps solide mobile terminé par une surface rigide S assujettie à rester en contact avec une surface fixe S(. A cliaque instant un certain point A de la suface mobile S se trouve en contact avec un point Al de la surface fixe Si. Si, à l’instant la vitesse Vo du point A de S qui se trouve au contact n’est pas nulle, cette vitesse est située dans le plan tangent commun aux deux surfaces au point de contact : en effet, imaginons un mobile qui coïncide à chaque instant avec le point géométrique de eontact des deux surfaces : la trajectoire absolue Ci de ce mobile est située sur Si et sa vitesse absolue Vi est tangente à Ci ; sa trajectoire relative G par rapport à S est située sur S et sa vitesse relative V est tangente à G ; sa vitesse d’entraînement, dans le mouvement de S, est la vitesse Vo du point A de S au contact à l’instant considéré. Comme Vi est la résultante