PREMIERE PARTIE

NOTIONS PRELIMINAIRES

9. Dans un corps solide en mouvement, on projette à un instant t les vitesses des différents points du système sur un plan perpendiculaire à l’axe central; démontrer que ces projections sont perpendiculaires aux droites joignant les projections des points sur le même plan au pied de l’axe sur ce plan.

10. Construction de l’axe instantané de rotation et de glissement d'après Poncelet. — On mène par un point arbitraire O de l’espace trois vecteurs OV, OV', OV" égaux aux vitesses de trois points M, M', M" du corps; l’axe instantané est perpendiculaire au plan tc des trois points V, V', V". Projetons sur ce plan deux des points M et M' en m et m' et leurs vitesses en mv et m' v' \ les perpendiculaires élevées en m et m! à mv et m' C se coupent au pied de l’axe sur le plan TT. L’axe est donc déterminé.

11. Un corps solide est mobile autour d’un point fixe O. Démontrer que, si l’axe instantané de rotation est fixe dans le corps, il est aussi fixe dans l’espace, et que le mouvement du corps se réduit à une rotation autour d’un axe fixe.

Réciproquement, si l’axe instantané est fixe dans l’espace, il est aussi fixe dans le corps.

12. On considère une courbe gauche l'apportée à des axes fixes O^x^y^z^ et sur cette courbe un point mobile O dont les coordonnées sont des fonctions données de l’arc s. On suppose que le mouvement du point O est défini par l’équa-

ion s = ^, et l’on considère le trièdre trirectangle Oxyz formé par la tangente Ox dans le sens du mouvement, la normale principale Oy dans le sens du rayon de courbure principal p, et la binormale 0.s.

a. Trouver les composantes /?, q, r de la rotation instantanée du trièdre mobile

suivant les axes mobiles.

Réponse. p— — q = o, r=- ( t, rayon de torsion ).

b. Trouver les équations de l’axe instantané de rotation et de glissement.

13. Démontrer, en vertu de la propriété précédente, que si - = const., la

courbe est une héliee tracée sur un cylindre quelconque (Bertrand).

[On considère un trièdre auxiliaire O^x'y'z' ayant son origine fixe et ses

arêtes parallèles aux axes mobiles Oxyz. Si = const., l’axe instantané de rotation de ce nouveau trièdre est fixe dans le trièdre, par conséquent fixe dans l'espace (exercice 11), et la tangente Ox à la courbe fait avec la direction de cet axe fixe un angle constant.]

14. Une droite AB de l’espace est invariablement liée à un axe fixe Os, autour duquel elle tourne avec une vitesse angulaire constante a>. Un corps solide C, invariablement lié à la droite AB, tourne autour de cette droite avec la même vitesse angulaire relative w.

Trouver, pour ce corps solide C, l’axe instantané de rotation et de glissement, la surface réglée fixe Sj et la surface réglée mobile S.

15. On fait rouler un cylindre de révolution (C) dans un C}dindre de révolution (C') de rayon double, en le faisant glisser en même temps parallèlement