CHAPITRE IV

TRAVAIL : FONCTION DE FORCES

l’arc de courbe MoM^ :

^ = z = Tn{q).

Les composantes X, Y, Z, dépendant uniquement de x, y, deviennent des fonctions de q le long de la courbe; on a donc, en substiluant dans l’intégrale (i) ces valeurs de x^ jp, ^ et celles qu’on en déduit pour dx^ dy^ dz^

formule qui permet de calculer G.

Si la même courbe était parcourue par le mobile en sens contraire de M, en Mq, le travail total serait — S, car il faudrait intervertir les limites et q^.

82. Cas particulier dans lequel G dépend seulement des positions initiale et finale. Fonction des forces. Potentiel. — Supposons que X, Y, Z soient des fonctions de x^ jp, ^ continues et admettant des dérivées partielles du premier ordre en tous les points d’une région de l’espace dans laquelle seront situées toutes les courbes considérées. Cherchons ce que doivent être ces fonctions

Y(.r, jK, Z(x,y,z).

pour que le travail total correspondant à un déplacement fini MqM< dépende seulement des positions initiale et finale Mq et M^ , et non de la courbe suivie par le mobile.

Soient d’abord deux points Mo, M, {fig. 55) infiniment voisins,

l'ig. 55.

situés dans un plan parallèle au plan des xy^ ayant pour coordonnées, le premier Mo(.r, y, z)^ le second {x + dx^ y + dy, z). Amenons Je mobile de Mo en M, en le déplaçant d’abord parallè-

io6

Jement à l’axe Ox d’une longueur dx^ pour l’amener en M', puis parallèlement à Oy, d’une longueur dy^ pour l’amener en M,. Le travail élémentaire eorrespondant au déplaeement MoM< est X(^, JP, z)dx’, en M' la foree a une valeur F' do'nt la projection Y' sur l’axe des y est Y [x -\- dx, y, z); le travail élémentaire de F' correspondant au déplacement M'M^ est donc Y' dy ou Y(x -j- dx, y, z')dy. D’où; |)our le travail total correspondant au déplacement Mq IVT) ,

S X(a?, jK, -S ) -h Y ( -h dx, y, z) dy.

Si l’on déplaçait le mobile, d’abord parallèlement à Oy jusqu’en M'' d’une longueur dy, puis de en M^, parallèlement à Ox, d’une longueur dx, on trouverait pour le travail

S = Y{x, y, z) dy + X(x, y -+- dy, z) dx.

Nous voulons que ces deux valeurs de soient égales; en les égalant et faisant

Y(a? + dx, y, z) = Y {x, y,z)-\-^ dx,

Y{x,y ^ dy,z) = Y.{x, y,z)-^^-^dy,

on trouve, après des réductions évidentes,

dY dY dx dy

On trouvera, en opérant de même dans des plans parallèles aux deux autres plans coordonnés, les deux autres conditions nécessaires

dT^ dY ^ éZ

dy dz dz dx .

Ces conditions expriment que l’expression

X dx -h Y dy Z dz

est une différentielle totale d’une fonction U des variables indépendantes X, y, Z. Nous allons montrer qu’elles sont suffisantes, du moins avec certaines restrictions que nous indiquerons.

En effet, si ces conditions sont remplies, on a l’identité

X dx -h Y dy -\~Z dz = d\}{x, y, z)