CHAPITRE IV. — TRAVAIL ! FONCTION DE FORCES

qui entraîne les trois autres

ax oy oz

La fonction U, c|iii n’est déterminée qu’à une constante additive près, s’appelle la fonction des forces. On dit aussi que les forces dérivent d’un potentiel, mais le potentiel est la fonction — U.

Le travail total de la force F, quand le mobile va de Mo en le long- de la courbe G 56), est alors

-(Ml)

' Xdx-{~Ydy-^Zdz= 6^U=Ui— Uo,

(Mo) '^(Mo)

U, désignant la valeur finale que prend en M| la fonction ü suivie par continuitéXe long de la courbe, la valeur initiale de U en Mo étant Uo-

Donc, si U est, dans la région d’espace considérée, une fonction uniforme de x., y, .s, avec une seule détermination en chaque

Fig. 56.

point de cette région, Uo et ont des valeurs |)arfaitement déterminées et le travail total G est indépendant du chemin suivi de Mo à Ml. En particulier, si le mobile décrit alors un chemin fermé, M, coïncidera avec Mo, et le travail total sera nul.

Mais, si la fonction U est à déterminations multiples comme un arc tangente, le travail total n’est pas absolument indépendant du chemin suivi de Mo en M,, car il varie suivant que, partant de Mo avec une détermination Uo, on est amené par continuité à prendre en M, l’une ou l’autre des déterminations de U. On peut dire aussi que, dans ce cas, le travail total relatif à un contour fermé n’est pas nécessairement nul. Ces deux façons de s’exprimer sont d’ailleurs identiques au fond, car, si l’on considère deux chemins G et G' allant de Mo en M< et si l’on appelle ^ et le

io8

travail total correspondant aux. deux déplaeements finis MoGM^, MoG^M,, le travail total correspondant au déplacement fermé MqGMi G'Mq est S — S'. Donc, si © = S', ce dernier travail est nul et réeiproquement.

Supposons, par exemple, U = arc tang — ; la force F a pour projections les expressions

qui sont des fonctions continues avec des dérivées dans toute la partie de l'espace située à l’extérieur d’un cylindre de révolution de rayon aussi petit qu’on le A^eut, ayant pour axe Oz {Jig. 5y). La fonction U étant

Fig. 57.

l’angle a? OP que fait avec O a? la projection OP du rayon vecteur OM sur le plan des arp, on voit que, si le mobile décrit une courbe fermée MGM ne tournant pas autour de l’axe 0^, le travail total est 7Uil^ car la fonction U, suivie par continuité le long du contour G, reprend en M sa valeur initiale. Mais, si le mobile décrit une courbe fermée MG'M tournant une fois dans le sens positif autour de Oz, la variation de U étant 2tc, le travail total est 2Tz; si le mobile tourne n fois autour de Oz dans le sens positif, le travail total est 2n7z.

Ges considérations ont été développées par J. Bertrand {Journal de l’École Polytechnique, 28® cahier).

D’une manière générale, on peut, dans le cas où il existe une fonction des forces, établir la proposition suivante, que nous nous contenterons d’énoncer pour ne pas entrer dans des développements analytiques trop étendus :

Si l’on peut, par déformation continue, réduire une courbe fermée G à un point, sans l’amener à passer par aucun point où les fonctions X, Y, Z cessent d’ être continues et d’ admettre