CHAPITRE IV

TRAVAIL : FONCTION DE FORCES

des dérivées premières, le travail total de F le long de cette courbe fermée est nul.

La démonstration se fera aisément si l’on s’appuie sur la formule suivante :

La courbe G, en se réduisant à un point P, engendrera par ses positions successives une portion de surface S sur laquelle, par hypothèse, X, Y, Z sont finis, continus et admettent des dérivées. On a alors la formule suivante, dont on trouvera la démonstration dans le premier Chapitre du Tome III (formule d’Arapère et de Stokes),

= I X dx -h Y dy Z dz

-mi

dX dZ

âx

dx dz

\dx dyj

dZ

dy

dY

dz

dz dy,

la [iremière intégrale étant prise le long de G et la seconde sur la surface S. Les éléments de l’intégrale double S étant tous nuis, en vertu des conditions mêmes qui expriment l’existence d’une fonction des forces, on a G = o.

83. Surfaces de niveau. — Voici quelques remarques importantes sur le cas où il existe une fonction de forces U ou un potentiel — U.

Soient M(.r, y, z) une position du point matériel et une demi-droite parallèle à Ox {fig> 58); la projection de la force F

sur cette demi-droite est égale à c’est-à-dire à la limite du rapport

I lO

quand MM.' tend vers zéro, M' étant un point pris sur la demidroite Ma?' et U' la valeur de la fonction U en ce point. Comme on peut prendre une direction quelconque pour direction de l’axe Oa?, on voit que, pour avoir la projection de la force F sur une demi-droite quelconque MD, il suffît de prendre la limite du rapport

quand MM" tend vers zéro, M" étant un point pris sur MD et U" étant la valeur de la fonction U en ce point. Cette limite s’appelle la dérivée de la fonction U prise suivant la direction MD.

Les surfaces ayant pour équation

UCa-, JK, z) = G,

C désignant une constante, se nomment surfaces de niveau. En faisant varier C d’une manière continue, on a une suite de surfaces telles que, par tout point pris dans la région de l’espace où la fonction U est définie, passe une de ces surfaces. La force qui agit sur le point matériel dans une position M est normale à la surface de niveau particulière S qui passe par M, car ses projections sont égales aux trois dérivées partielles de U ou ü — C. De plus, la force F est dirigée par rapport à cette surface du côté où U va en croissant. En efîèt, soit MN la normale à la surface de niveau S menée du côté où U va en croissant; la projection de la force sur cette normale coïncide avec la force même; elle est positive ou négative suivant que la force est dirigée suivant MN ou suivant la direction opposée. Gomme cette projection a pour expression

Ui-U hm ■ 7

MMi

M, étant un point de MN infiniment voisin de M, elle est positive, car U< est supposé supérieur à U. La force est donc dirigée suivant MN, et son intensité F s’obtient en prenant la dérivée de ü suivant cette normale, ce que l’on écrit symboliquement