CHAPITRE V. — ÉQUILIBRE d’uN POINT; ÉQUILIBRE d’uN SYSTÈME. 12 J

Il existe actuellement une fonction. des forces U; dans le cas général, jx différent de zéro, on a

Quand [x est positif, cette fonction est nulle au point G, négative en tout autre point : elle est donc maximum dans la position d’équilibre, qui est par suite stable. L’inverse aurait lieu pour fx négatif. Lorsque p est nul, X, Y, Z ont des valeurs constantes f'Lmkak., flLm^bh, f^mkCk, et la fonction des forces est

U = f{x'Lmkak-\- yYiinkbk-\- z^îiXkCk)^

91. Point mobile sans frottement sur une surface fixe. — Soient une surface fixe donnée S 63) et sur cette surface un point

mobile M sollicité par des forces données dont F est la résultante. Pour que le point soit en équilibre, il faut et il suffit que cette résultante F, si elle n’est pas nulle, soit normale à la surface. En

Fig. 63.

effet, si la force n’est pas normale, on peut la décomposer en deux, l’une normale qui presse le point sur la surface, l’autre tangentielle qui fait glisser le point sur la surface; l’équilibre n’a donc pas lieu. Si, dans une certaine position M, la force F est normale, l’équilibre a lieu, à condition que le point ne puisse quitter la surface ni d’un côté ni de l’autre; c’est le cas le plus fréquent. Mais, si le point est simplement posé sur la surface, comme un objet posé sur une table, il ne suffit pas que la force soit normale pour qu’il j ait équilibre, il faut en outre qu’elle soit dirigée de façon à appliquer le point contre la surface.

Le point pouvant glisser sans frottement sur la surface, l’action de la surface sur le point est une force qui ne doit opposer aucune résistance au glissement, c’est-à-dire n’avoir aucune composante tangentielle. C’est donc une force normale qu’on appelle Réaction normale. Quand le point est en équilibre, la réaction normale est égale et opposée à F. D’après le principe de l’égalité de

l’action et de la réaction, le point M exerce sur la surface une action égale et opposée à MJN, qu’on appelle pression cia point sur la surface.

Traduisons analytiquement ces résultats : soient

l’équation de la surface en coordonnées rectangulaires et X, Y, Z les projections de la force F. La réaction normale MN a pour projections des quantités proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale à la surface, c’est-à-dire des quantités de la forme

Puisqu’il doit y avoir équilibre entre cette réaction et la force F, on a les trois conditions

Z + X y = O, dz

qui, jointes à /"(.r, y, i;) = o, donnent quatre équations pour déterminer x, y, z et Soit M un point de la surface dont les coordonnées satisfont à ces équations. Si le point matériel ne peut quitter la surface ni de l’un ni de l’autre côté, il est en équilibre en ce point. Dans le cas contraire, il faut en outre imposer à \ un certain signe. Admettons, par exemple, que le point puisse quitter la surface du côté où f[x.,y.^z) devient positif; il faut alors que la force soit dirigée du côté où f[x^y^z) est négatif, et la réaction du côté opposé. Or la grandeur géométrique dont les projections sont

dx dy dz

est dirigée par rapport à la surface du côté où f{^x.,y.^z) devient positif, comme il résulte des remarques faites à propos des surfaces de niveau (83) appliquées aux surfaces /(.r, y, = const. La réaction N devant être dirigée du même côté, X devra être positif.

Lorsque le point ne peut pas quitter la surface, on simplifie le calcul par la méthode suivante. On commence par exprimer les coordonnées d’un point de la surface en fonction de deux para-