CHAPITRE V. — ÉQUILIBRE d’uN POINT; ÉQUILIBRE I)’UN SYSTÈME
mètres et q2 \ soient, par exemple,
pour qu’il y ait équilibre, il faut et il suflit que F soit normale à la surface, c’est-à-dire à cliacune des deux courbes qu’on obtient en laissant successivement puis q-2 constant; les équations du problème sont donc
Qi = X Q2=X
dx
dx
àq%
ÈL
àqi
ày
àq%
ïp-
àqi
àqi.
X, Y, Z, dépendant de Ja position de M, sont des fonctions de q^ et ^2 i ^es deux équations ci-dessus en q^ et ^2 déterminent les valeurs des deux paramètres pour les positions d’équilibre.
Un cas intéressant est celui où, en désignant par Q, et O2 les premiers membres des équations ci-dessus, l’expression
Qi dqi -h Q2 dqz
est la diflèrentielle totale exacte d’une fonction LJ(^,,^2)5 on ost alors conduit, pour trouver l’équilibre, à annuler les dérivées partielles Q, et Q2 de U(qi,q2)<, c’est-à-dire à chercher les maxima et les minima de cette fonction de deux variables indépendantes qi et ^2- Cette fonction peut s’écrire
U(^i, ^2) = f X dx Y dy Z dz,
où, dans le second membre, tontes les quantités sont remplacées par leurs valeurs en q^ et q^- Dans le cas particulier où la force F dérive d’un potentiel, on a, quels que soient æ, z,
Xdx -\-Y dy -h Z dz = \J {x, z)]
la fonction U(^i , ^2) existe alors et on l’obtient en remplaçant, dans \][x, y^ z), les coordonnées par leurs expressions en fonction de q^ et q^- La surface de niveau qui passe par une position d’équilibre Mj est, en général, tangente en ce point à la surface donnée S, car la force en est à la fois normale à la surface de niveau et à S.
Nous démonLrerons en Dynamique que, si passe dans
une certaine position du mobile par un maximum elTectif U<, l’équilibre correspondant est stable. On peut s’en rendre compte, comme plus haut pour un point libre, en étudiant la forme des courbes d’intersection de la surface donnée S avec les surfaces de niveau
U = Ui±e.
92. Point mobile sans frottement sur une courbe fixe. — Soient une courbe fixe C et, sur cette courbe, un point M mobile sans frottement, sollicité par des forces dont la résultante est F. On voit, comme dans le cas d’un point mobile sur une surface, que, dans l’équilibre, la force F, si elle n’est pas nulle, doit être normale à la courbe. Si cette condition est remplie, la force F sera détruite par la résistance de la courbe et l’équilibre aura lieu.*
L’action de la courbe sur le point est une force normale MN qu’on appelle réaction normale : le point M exerce sur la courbe une pression égale et opposée à cette réaction. Lorsque Je point est en équilibre, la réaction normale est égale et opposée à la force F ; la pression du point sur la courbe est égale à F {fig. 64 ).
Soient
les équations de la courbe rapportée à trois axes rectangulaires, et X, Y, Z les projections de la résultante F des forces appliquées
Fig. 64.
au point M(^,jk, s). Pour exprimer qu’il j a équilibre, il suffit d’écrire que F est égale et directement opposée à la réaction normale N. Cette dernière force peut toujours se décomposer en deux autres dirigées suivant les normales MN' et MN" aux deux surfaces y = O, = O qui, par leur intersection, définissent la courbe, car les trois directions MN, MN' et MN" sont dans le plan normal.
