CHAPITRE V. — ÉQUILIBRE d’uN POINT; ÉQUILIBRE d’uN SYSTÈME. I

Ces deux composantes de la réaction MN' et auront respectivement pour projections

lûL lÈf lÈf. 1 Èâ 1 Èh

^ dx' ^ dy' dx’ dy* dz'

Puisqu’il y a équilibre entre ces deux forces et la force F, on a

dx dx

dy ôy

Ces trois équations, jointes aux deux équations de la courbe, déterminent les cinq inconnues y, X et .

On simplifie le calcul en supposant que les coordonnées d’un point de la courbe soient exprimées en fonction d’un paramètre q par les équations

Les cosinus directeurs de la tangente étant proportionnels à cp'(^), {q)^ ^'{9)1 condition d’équilibre s’obtient en égalant

à zéro la quantité

Xcp'(5^) H- + Zm\q),

que nous désignerons par Q. A chaque valeur de q annulant Q correspond une position d’équilibre. Dans le cas actuel, la recherche des positions d’équilibre se ramène toujours à la recherche des maxima et minima d’une fonction qui ne dépend plus que d’une variable. Posons, en effet.

z= j X dx dy J, dz —

où l’on suppose, dans la première intégrale, .r, y, ^ remplacés par leurs valeurs en fonction de de façon à rendre cette intégrale identique à la seconde : la condition d’équilibre s’obtient en cherchant les valeurs de q qui annulent la dérivée de ü par rapport à on les trouve donc en cherchant les maxima et minima de U. Lorsqu’il existe une fonction des forces JJ (x, y, z), la fonction U(^) s’obtient évidemment en y remplaçant x, y, ^ par leurs expressions en fonction de q. Dans ce cas, la surface de niveau qui passe par une position d’équilibre M, est tangente en M^ à la

courbe. Nous verrons plus tard, par une méthode générale, qu’à un maximum effectif de U(^/) correspond une position d’équilibre stable. Nous indiquons, à titre d’exercice (fin du Chapitre, Exercice 7), une méthode particulière pour vérifier cette proposition qui tient, au fond, à ce que le point, étant abandonné sur la courbe, tend à se déplacer sur cette courbe dans le sens des U croissants.