Transformations de contact. Cas généraL — Posons
(O = (Iz — Ji\ (l.r ^ — . . . — p,, <f'„. il = r/Z — I', ./\,— . ..— P„./X„.
Une Iransformation de contact est définie par un changement des variables x, s, p en X, Z, P tel que, p étant une fonction non identiquement nulle de ces variables, on ait
(17) 12 = pco.
ll\ G. CERF.
Par dérivation extérieure ou déduit de (17)
Q'= pw'^- [c/p.w].
p ! Q(2/'-)) — [ Û'/' ] = p/' [ (o7' ] -^ p p/'-i [•to'/'-' f/p . oj I
OU
(.)12/J-1) ^ p/'(,y2/'-l) p/'-l [col2/'-2) c/p].
De même
0(2/') = —, r 0'/' . Q 1 zzz ^-- r to'/' . 0)1 = O/' + l C0<2/'t.
quel que soit p^n.
Par conséquent,
i2( = "- = ) = p" (Ol2"-2)^ Q(270 — p/)+l t,j(2").
Cette dernière relation est de degré (/i + i); elle donne (deuxième exemple du paragraphe 4?)
\,JZ d\, r/P, . . . d\„ dP„ ] = p"+i [r/j ^/J-, dp, . . . d.r„ dp,,]
ou
D(c, .r,, .... pn)
L'existence de la relation (17) entraîne donc l'indépendance des fonctions X, Z, P par rapport à ji-^ s, p.
Soient F et O deux fonctions quelconques de X, Z, P, et y" et cp ce qu'elles deviennent quand on y remplace les grandes lettres par leurs expressions au moyen des petites; on a
[t2(2"-=) d¥ c/*] = p''[(o(2"-2) dfd^]
et, d'après les notations précédenles,
L'indice X rappelle que le premier crochet est pris, I' cl <I> étant fonctions des grandes lettres.
Considérons maintenant deux formes de Pfaff, S^,, ii^, aux variables X, Z, P, et w,, Wa ce cju'cUes deviennent quand on^y remplace les grandes lettres par leurs expressions au mojen des petites. On définit les parenthèses (i^,, Q..^) et (o)|, ojo) par les relations
et l'on a encore
(i8') p(Q,, Q,) = (co,. wo).
Si [/, 9] = G, nous dirons que les deux fondions / et cp sont en involution; si (oj,, 0^2) = o, nous dirons que les deux formes de Pfaflf sont conjuguées {cf. [19]), ces propriétés se conservent d'après (18) et (18') par une transformation de contact quelconque. Si
M^— À I c/^'i -H . . . -I- X/, dx,i — À '1 dz -^ [J-l <://>! -f- ... -I- [J.,'j dpn. 0)0 = Àf dxf -H . . . -t- X2 dx,, -T- A 2 dz -!- iJ-'f c//)i -1- . . . — [JL;, dp,f
0J| lOo =
En appliquant la relation (18) aux fonctions \, Z,, P on obtient les relations fondamentales des transformations de contact
(19) [Z,X,] = [X,-. \,] = [X,. P,] = [P,. P/,] = o (iT^k),
(•io) [Z. l',]--sP,. [P,. X,] = p,
où les grandes lettres sont à considérer comme fonctions des petites, les crochets étant relatifs à o).
De plus, de la relation
on déduit, (juelle que soit la fonction ¥ ,
[Q(2'<-i) dV\ = p"[ojC-!"-i' df] — p"-i[oy: = "-2) d f do'l
et, en dévelop|)ant,
En j remplaçant F' successivement par Z, X/, P,, on
On peut énoncer diverses réciproques :
1° Etant données (« -h i) fonctions indépendantes Z, X|, . . . , X,j, des in -\- \ variables ,r, 5, /), satisfaisant aux relations
(■il) [Z, X,] = o. [X,, X/J = o (/. A- = I, •^.. .... /?j.
il existe n -j- 1 autres fonctions p, P,, ..., P„ des mêmes variables telles que l'on ait idenliquement
{l- ) cŒ — Pi (/X| — . . . — I'„ /■/X„ r- 0 1 ,1z — />| il.ix — • • • — /'// (l-rii^.
Gela résulte de ce que les relations (•ii) signalent en général un groupe semi-conjugué relalivement à 03;
2° Si les 2 /^ + 2 fonctions Z, X , , . . . , X„, P, , . . . , P„, p des 2 /i H- i variables z, ^r,, . . ., Xn-, p\i ■ ■ ■ 1 Pm dont aucune n'est identiquement nulle, satisfont aux. relations (kj) et (20), elles donnent lieu à la relation (17);
3° Si p est une fonction arbitrairement choisie, non identiquement nulle, des 2/1 + 1 variables z, j?,, x^^ . . ., x,,^ /^i, . . ., />„, on peut toujours déterminer 27? + i fonctions Z,, X,, . . ., X„, P,, . . ., V,/ des mêmes variables qui vérifient la relation (17).
11 résulte également des considérations précédentes que, les fonctions Z, X|, . . ., X„ vérifiant la relation ( 17), le svstème d'équations aux dérivées partielles linéaires en y (22)
{■2:>.) [Z,/] = o, [\,,/] = o, .... [X,„,/] = o (min)
est un système com])let dont 2/1 — m intégrales indépendantes sont
• //(-t-2 ' III ->-:<, "1
D'ailleurs, le système (22) est un système complet si les fonctions Z, X|, . . . , X/;; vérifient les relations (19) qui les concernent.
I I. Transformations en x^ p. — C'est le cas où les in fonctions X I, . . . , X„, P|, . . . , P„ forment à elles seules un groupe conjugué par rapport à oj ; cela exige, en outre des relations précédentes,
c est-à-dire, d'après un calcul fait |)liis haut (J; ')),
dz dz
et les in fonctions X, P sont indépendantes de z.
Des relations (;>.o) on déduit
0^ do dç
dpi d.fj <)z
pi -^ = o;
par conséquent, o est égal à une constante que nous désignons par A et
Réciproquement, si p est une constante (diftérente de zéro) les X et les P sont indé[)endants de z : cela résulte des relations fondamentales.
En remplaçant les variables Z, X,- par AZ, AX,, ce qui constitue une transformation en ,r, p particulière, le problème de la détermination des transformations en x^ p est ramené au suivant :
i" Trouver les T qui conservent oo, c'esl-à-dii'e telle (jue
ou encore :
2° Etant donuée l'expression de PfafT ',), à un nombre pair de
variables
(0, = p^ (Ixi -'■-... --■}>„ f /./■„,
trouver les changements de variables efïectués sur les in quantités x, p qui reproduisent o), à une différentielle exacte près
U étant une fonction des a?, /;, avec Z = z + U. Ce dernier énoncé est équivalent à
3" Trouver les transformations qui laissent invariante la dérivée extérieure w'j de goi :
La relation
donne alors
[./X,... ./P„] = [././-, ... <lp„\
qui exprime l'indépendance des X, P par rapport aux :c, p. L'équation
est vérifiée quelle que soit la fonction y des .r, /?, et l'identité
[Qi'-i"-»* dF rAI)] = [co,2"-3' dfd'^],
où y et cp sont ce que deviennent ces fonctions F et $ des X, P quand on les exprime en x, /), donne
(F, *) = (/, cp) avec
âPi dXi dX, dP,
et l'expression analogue pour (/", cp), ce qui constitue un cas particulier d'un résultat précédemment indiqué. On obtient immédiatement les relations
( (X,-, X/j - (P„ P/,) = (X,-, P;;.) = G pour i ^ k- (24) {
Les relations de la première ligne ne sont pas modifiées par la transformation particulière que nous avons efTectuée, elles sont donc générales. On a de plus les relations
n II
Réciproquement, étant données /i fonctions X/ des x, p satisfaisant aux relations (X/, X/i) = o, on peut toujours trouver n^i fonctions U, Pj des X, p donnant lieu à l'identité (aS), car ces relations expriment, en général, que les X forment un groupe semi-conjugué par rapport à w,; U est déterminé par une quadrature. On complète la transformation au moyen de Z — s = U.
Il résulte de la détermination générale d'un groupe semi-conjugué que si l'on donne arbitrairement la fonction U des .r, p, on peut trouver 2 /i fonctions X, P des mêmes variables donnant lieu à l'identité (28).
Les transformations en .x, p forment un sous-groupe du groupe G.
12. Transformations de contact homogènes. — Les considérations précc'dentes supposent (pie les X ne satisfont |)as à l'écpialion
OU encore
f\-^>"lr-'
,y ! -jLi^'' dp
quand cela a lien, les X forment un groupe conjugué et non pas seulement semi-conjugué par rapport à w,; on est ainsi conduit à rechercher les transformalions pour lesquelles
Tout d'abord, in fonctions X, P des x^ p donnant lieu à celte identité sont indépendantes, car on en déduit
c'est-à-dire ~^
[f/Pl f/X, . . . CW„ dX„] = [dp, dXy ...dpn dXn\.
D'autre part, si F est une fonction quelconque des X, P, et / ce qu'elle était avant la transformation
OU
2j^'wrzjp^Tp,^
d'où
àpj-- ^'piôpi--
ce qui montre que les X sont des fonctions homogènes de degré o des p et les P des fonctions homogènes de degré i des mêmes quantités.
Les autres relations (24) subsistent.
Réciproquement, si les X,, ..., X„ sont n fonctions distinctes des x^ p homogènes de degré o par rapport aux p, satisfaisant aux relations (X,-, X^^) = o, il existe n fonctions P,, . . . , P« des x^ p, homogènes et degré i par rapport aux p et donnant lieu à l'identité (aS).
Cela résulte de ce que les X forment un groupe conjugué par rapport à w,. On constate que le système d'équations linéaires aux dérivées partielles pour y
