vTP v^îP = Ç^ = 5M H"' = 3i,8i m
On peut par la même formule chercher à quelle distance les points
ayant une altitude de joo m sont visibles.
On a :
v/3ôô=— z — D = 3.570 X i7î32 = 61. 5oo m
En y ajoutant la longueur tangentielle 65.ooo m
La distance totale cherchée est de 126.500 m
Il y a donc des chances de trouver des points visibles à 125 km parmi ceux qui sont à une altitude de joo m et au-dessus.
Inversement, la portée extrême du phare étant de 200 km^ on peut rechercher quelle serait l'altitude nécessaire pour Tapercevoir,
On a :
/î-= 200.000 — 65.000 i35.ooo ' ^ ,, -..
^« = 3:5^5 ^^:5^ = ^7,8 H=M3om
Aucun point, dans un rayon de 200 km de Paris, n'a cette altitude.
Maïs, non seulement pour les points situés dans le rayon de 125 km^ mais même pour ceux situés dans le rayon de 85 km^ et dont la visibilité correspond à la faible altitude de 32, ce n'est en général pas l'altitude absolue qui règle cette question ; ce sont surtout les obstacles dus aux sommets plus rapprochés qui forment un écran au-dessus duquel le rayon visuel doit passer. Si un point M a une altitude MQ qui dépasse le rayon visuel AG, le nouveau rayon visuel extrême deviendra AQ, qui,
30 LA TOUR DE TRÔtS CENTS MÈTRES
prolongé, viendra couper en P la verticale passant par le point E. Pôulr que ce point soit visible, il faudra donc que l'altitude du point E soit au moins égale à PE.
Il est donc nécessaire, pour déterminer quels sont les points visibles dans chaque direction de l'arc de grand cercle passant: par la Tour, de faire un profil en long sur une longueur de 85 à c)o km cnviroa, indiquant les différents reliefs du terrain, et de mener les tangentes allant du sommet aux points hauts. On aura ainsi en quelque sorte tous les points dans cette direction éclairés par le phare, les autres restant dans Tombre. La partie vue sera l'ensemble de tous ces points éclairés qui viendront en apparence se souder les uns aux autres.
Pratiquement, cette détermination se fait par les procédés géométriques usités pour la télégraphie optique, en tenant compte de la réfraction atmosphérique qui augmente notablement Tétendue de la visibilité. Nous allons décrire sommairement ces procédés d'après deux Mémoires du Colonel Mangin, que le Service géographique du Ministère de la Guerre a bien voulu nous communiquer^
Méthode du Colonel Mangin.
En vertu de la réfraction atmosphérique, la trajectoire des rayons lumineux n'est pas une ligne droite, mais une ligne courbe dont les tan- .gentes aux deux lieux extrêmes forment avec la droite qui les réunit un
angle égal à de l'angle formé au centre de la Terre par les rayons
aboutissant à ces points. Chaque extrémité est vue de l'autre suivant la tangente à celte trajectoire et paraît plus élevée qu'elle ne l'est réelle-
ment. Les obstacles intermédiaires sont relevés de même, soit de de
ipo
l'angle au centre qui leur correspond; comme c'est une quantité angulairement moindre, il peut arriver que les deux points donnés s'aperçoivent, bien que la ligne droite qui les joint soit interceptée par un obstacle intermédiaire.
Soit MON (voir fig. a) l'arc de grand cercle terrestre compris entre les points A et B, AmwB le profil du terrain, ArtôB la trajectoire courbe du rayon lumineux, à l'extrémité de laquelle les tangentes AT et BT font
VISIBILITÉ, TÉLÉPHOTOGRAPHIE
avec la droite AB un angle égal à de l'angle au centre ACBnza; sî R
est le rayon de la Terre, Tare MON a pour valeur Ra, qui exprime aussi sans erreur sensible la distance AB ainsi que le développement de la trajectoire AabB. On peut considérer celte trajectoire comme un cercle d'un très grand rayon p, ayant pour angle
au centre le double de de «, soit
lOO
o,i6 oc. On a donc o,i6«p = R«, d'où
Le procédé graphique proposé consiste à substituer à cette trajectoire la droite AB, et à modifier l'arc de grand cercle MON et le profil kmnb^ de telle sorte qu'en chaque point du terrain AB les flèches comprises entre la droite AB, le profil modifié Aw'w'B et l'arc
de grand cercle modifié MO'N, de rayon R', aient respectivement la même longueur que les flèches comprises entre la trajectoire réelle, le profil vrai et l'arc de grand cercle réel.
OnalareIatio„(,): i,=l l= ■ -»-^«==2|«
d'où :
On obtiendra le profil du terrain en comptant les altitudes intermédiaires, non plus à parlh* de l'arc MON, mais à partir de l'arc MO'N et en portant les longueurs qui les représentent, non suivant les verticales correspondantes, mais suivant des parallèles à la verticale moyenne de là ligne AB, ce qui ne donne lieu qu'à des erreurs négligeables.
(1) L'égalité entre les flèches de la trajectoire AB par rapport à sa corde et les flèches
telles que 00' donne : p(i - cosBC''T) = R(i — cos^) — R'(i — cosNC'O') ou psin"~- =
Rsin»7--R'sin*y, OU, comme les angles sont très petits, ?»"• = Ra" — RV". Enfin nous
avons admis que pa" = Ra quantités égales on a :
: R'a'. En divisant les termes de Téquation par les carrés de ces
ou — r = — — -
Supposons uix grand cercle terrestre de rayon R' (voir 6g. à) agrandi pour tenir compte de la réfraction; soit MO'N l'arc qui sépare les deux points dont la corde MN est la distance mesurée sur la carte,
abaissons la perpendiculaire C'PO' et menons la tangente O'N'; on peut remplacer sans erreur sensible la demi-corde PN par la corde O'N. En \ • faisant NN'=^ et PN = tl, les triant gles rectangles O'NO'^ et PNO^ donj nent :
/ ÔTÎ* = 0'0''XOT
d'où
îf
0'^ Fig. h
et
En remplaçant R' par sa valeur 7.578.807 m on a, en prenant le km pour unité de la distance d et en conservant le mètre pour la hauteur A,
et
/t=o,p66rf*.
C'est d'après ces formules que se calculent les tables de visibilité.
A l'altitude de 334 m (sommet de la Tour), l'étendue dé l'horizon rapportée au niveau de la mer est de 71,167 km au lieu de 65,224 km^ obtenu sans tenir compte de la réfraction» soit plus de 9 p. 100 d'augmentation.
Il est facile de trouver une relation entre l'altitude CO' = y d'un point quelconque C (voir fig. c), d'une ligne de visée AB et les altitudes dea points extrêmes h et H, connaissant la distance d du point C au point A, ainsi que D l'écartement des
points A et B, et en comptant toutes ces altitudes sur des verticales parallèles à la verticale médiane CO'. Par des similitudes de triangles, on obtient :
y(^-o,o66d*):H — A — o,o66[(D — d)* — cTJirdrD
Fig.
VISIBILITE, TELEPHOTOGRAPHIE
d'où
Si rallilude y, du terrain en regard du point C est inférieure à la valeur de y donnée par la relation (3), la visibilité existe, et la différence de y — y^ indique de combien la ligne de visée passe au-dessus du point considéré du terrain ; si cette valeur de y^ est supérieure à y, la visibilité n'existe pas.
Le choix de ce point C se détermine en général par l'inspection de la carte; mais il convient avant tout de chercher le point le plus bas delà ligne de visée, qui est le point le plus critique, et d'examiner sa position par rapport au terrain.
Pour trouver le minimum de y, il faut égaler à zéro sa dérivée par rapport à la variable cl, on a ainsi ;
d'où
rf =
qui peut s'écrire :
Soit P (voir fig. d) ce point dont le pied de la verticale est en P^, la tangente en ce point est parallèle h la ligne de visée et coupe la verticale de A en un point A^, tel que A^A^i^ 0,066 d\ L'altitude du point P sera :
