L'équation (Sg) qui revient à celle ci
2/ e— «**' cos nxda; = *^ e *^% J o 'a
produira delà même manière la suivante
a l 4a» 216a» 2.3 64rt«^ |**'V*;-
Soit par ex. ^^^(ûft) ==«»», on obtiendra d'après la formule précédente
= k^ U— «. w~l fîllVl-n.w— 1.71— 2. w— 3*^:!r! — etc^
Soit encore <p(fl6) =r log «, on aura
r*e-a-^» log (a'+^') d^ = £![ e 4a,* log « = V^ilog(tH i L+l:i— etc^
rt I * (2fl«)» (27«)* ^ (2<7a)« 'j
Si dans l'équation
/^ e~*'cf>(/j?lx^— I+a)d^ = l^ff e * (p(a) ,
qui résulte delà seconde des formules (8?), on écrit nx au lieu de a;, et m au lieu de nt , on en tirera
y — co "
Multipliant celle ci par la différentielle e-"'dw , et intégrant ensuite entre les limites 7i = o , w = oo , on en déduira
f^ <ç{mxl^ — i+a) dxf e-«*{^'+>) 2ndw= 2V/We " 4n» dncp(a) ou bien, en vertu delà formule (78)
rcp ^^wj;{/— 1+^) dxz='r e-«*^ (p(a) = tt cp(a— to). ( 1 2 1 )
Et si l'on change ma; en x, on obtiendra encore
r<^ 0{a±xv:-2) d^ __ J ^(«^) (122)
Cette formule n'est cependant applicable qu'aux fonctions qui conservent une valeur finie en y supposant x=:dzcc.
38. Considérons maintenant les intégrales delà forme/^ e-<'^(p{x+ec)dx. Si l'on substitue à la fonction (p(r+<»), son expression identique e*«^<p(*), cette intégrale se transformera en /''"e-(«-^)^dj: <p(«); donc à cause de
f"^ g—h^ dxzz:- -y il viendra directement
r'^e-^^<p{ei+x)dx=:{j^)<p{<») (i23)
on trouverait de même
r°"e-«^<p(«— x)djf=(-^)(p(«) (124)
et dans le cas particulier de » = 0 ,
7d THÉORIE DES CARACTÉRISTIQUES.
y* e-«^ <p {x) dx = {-!-) (p(o) . (125)
Chaque fois que <p(a?) sera une fonction des puissances entières et positives delà variable x , le développement en série delà fonction caractéristique — i^ , devra se borner au terme affecté de ^", n étant l'ex-
posant le plus élevé qui entre dans (^{x). Soit pour premier exemple (^(x) zzzx" y il est manifeste qu'alors le développement dont il s'agit se
réduira dans la formule (120) au terme unique -^—; ce qui fournit immédiatement le théorème connu
y'^e-°^xndx = ~^—^"<p(o)=:lLli^i:± (126)
Les formules (i23) (i24) donneront dans ce cas
re-''^iu±xydx = ^i±^^'±^:^"-"-^'.:-^+,tc.} (127) Jo a l a» (««J* (««) I ^ ''
Soit a = 1 , il viendra
y os g-x a;»—» da;= 1. 2. 3....» — 1 =r (n) (128)
d'après la notation de Legendre;
ou bien / e— ^ d (a;") =r nT{n) = r(7i-f-l)
Soit xzzzt^^y et w=-, cette dernière intégrale se réduira à
re-*-df=l.T{L)=zr{i + L) (129)
Changeant m en — ^ ^ l'on obtiendra encore l'intégrale
r=°e-''^d^=::^l::ir(i — 1) (i3o)
qui devient
en substituant t"^"^ à la variable t.
La relation connue qui existe entre les intégrales (12g) (l3l), peut s'établir facilement delà manière suivante. En écrivant dans la première at au lieu de / , elle deviendra
d'où l'on tire, en prenant le produit de ces deux intégrales,
Til)T(l— '-):=: m" f^ f^ e-(«'"+*)<'" ^»«-' d/ da m' ^ m' J o J o
en vertu delà formule (lo3). Cette relation remarquable nous sera utile plus loin.
Soit encore (|)(jî) = cos mx^ la fonction ( i-)cp(o) , se changera dans la série
i!i-^' + ^ — ^^-etc.|=îL donc / e-«* cos î»ar dor = -4 — • ('33)
On obtiendrait par un développement semblable
y" e-o^ sin ma: d j; = — ^— . (l34)
39. Les équations ( 1 23) ( 1 24) sont susceptibles d'êtres présentées sous
72 THEORIE DES CAHACTÉRISTIQUES.
une autre forme qui en rendra l'application plus facile dans certains cas. En effet, d'après la formule (65) , on peut écrire
donc A e-«^4>(<tH-^)dir = (-i-)45(«) = — e«^ /e-o« <p(ût) d«. (l35)
On obtiendra de même
j e— a^<f)(û4 — x) àx z=z {~^) <p(<») = e— «* /è«« (p(<») d« ( 1 36)
Soit (p(a;; = sin mjc, ce qui donnera
/ 0—ax sin jfi (^a-}-x)dx = — e"* /è— «* sin m» d«.
Or, on sait que
/^-«^ sin »t« dfls = — e-«* f «sirK^« + «çosj^ 1
d'où il suit immédiatement
/''*e-«^sinw(«+a;)da;=:li£!!L^fL±^££!^ (iS^)
On trouverait de même pour <^[x) = cos mx
/»» / > , a cof ma — ot singes , „ox
I e— o* cos»i(«-f-ar) d^ = v^^")
En y faisant flf=iO , ces deux dernières formules donneront les valeurs de / e—^^ ûnmxà.x , 1 e — «''cosm^dx, déjà trouvées ci-dessus,
sans recourir à l'intégration. Si l'on différentie celles ci n fois par rapport à a, elles conduiront aux intégrales
ye—axx^smmxdxz:^ài ô" ( — — — )
yg—ax ^n cos mx da: = dt ^o (■'-T^ — ) selon que n est un nombre pair ou impair.
Les valeurs de ces deux coeiRciens difiFérentiels de l'ordre w, peuvent être exprimées d'une manière générale. On trouve en effet, au moyen d'un procédé que nous avons fait connaître ailleurs {*) , qu'en posant
«^}.m*=j»\ w=josin(p. a=jt?cos(p.
on aura ± ô^ (-^!^) = l^^^l^ sin (7tH-l)<p.
Or, à cause que les intégrales (iSg) s'évanouissent pour a=oo, il suit delà théorie des fonctions complémentaires , que ces dernières valeurs seront également applicables au cas où n soit un nombre fractionnaire; de sorte que l'on peut présenter ces intégrales sous la forme suivante.
yg—ax a;»—* sin mx dx = ^— — sin n Arc (tg = — ),
yQ—ax a:n— » cos mx dx = — ^"' cos n Arc (tg = ^) .
Et puisque l'exposant n pourra aussi être pris négativement dans les équations (l3g), il viendra encore, en le considérant comme tel, et observant que r ( i — n) = — nT ( — n) ,
r^fZffsinTw^trd^r^lî^b^rCl— n)sinwArc(tg = ^).
(i4i) r^lZ;^ cos m^ do: =— l^!ii^ r (i~-«) cos w Arc (tg = ^).
Quant à la valeur delà transcendante r( l — n), on aura en vertu des équations (128}, (12g), (i3o), (i32).
(•) Journal de M. Crelle. Vol. XI. pag. 169.
WOTJV. IttÉM. PIEM. CLASSE DB l'iHSTIT. TOM VI. 10
n THÉORIE DES CARACTÉRISTIQUES.
Jo Jo ' 1 — nj o sin«?rr(«)
n étant supposé <:i.
4o. Les formules générales auxquelles nous venons de parvenir renferment plusieurs conséquences remarquables, dont nous allons faire connaitre quelques unes. D'abord, en remettant, pour simplifier, (p à la
place de l'arc (tg=— ), on obtiendra, après avoir multiplié les équations (i4o) respectivement par sinw(p, cos n(p , pour la somme de ces produits
/"°°^n-t e-«* cos (m^— w(p) d^ = -ÏX^iL- = nn)cos"(p
Et en prenant ?i négatif (i4^2)
r'^îl^ cos {mx+nd?) dar = — HIhUlL la'+m^)\ = lillULÏ an sec~(p.
J o .-C+i II ^ ' —Il ^
Si l'on suppose a=o, les formules précédentes se réduiront à celles ci
f^xn-' sin mx dx = Hll sin ^.
»/ o im 0.
ou bien , en écrivant n au lieu de n — i / x^ sin mx dx
x^-"" cos mx dx =z H'il cos —.
•co
o /ra"
r'^xncosmx dx = ^^^+^'1 sin ^.
/''"!i!]^ d^ = Hl^ cos^.
y''°'ros w.T , r( 1 —») „• nîT dar=: — ^^ sm — .
„ -:M:id^=-r(i-«)sm,
Les formules (i46) coincident avec celles trouvées par Zaplace , à l'aide du passage du réel à l'imaginaire ('').
Soit w=r-, dans ce cas on aura r(w) = ix'7r, et les formules (i45)
donneront
J o V/.T 2//Î J O \/x im
On tire encore des formules (i42),
r"" ^»'- ' cos (^ — wa?) da? = n^ ,
(i48) /"* cos Ci? 4- »*^) -^ = »t~ r (- w) =- ^ r ( I— w).
En combinant les formules (liS), (l45), il en résultera les relations suivantes
yj;"— ' sin ma; àxX 1 '^'" ^'^ d^ = — , o ^ o .r" 2/«
^ o J o X" im
n étant un nombre fractionnaire.
4i. Plus généralement on aura, en diiFérentiant l'équation (l25) , n — 1 fois par rapport à l'élément a
(•) Journal de V école polyt. XV cahier, p. 250. Théorie anal, des prob- (addit.) p. 484.
D'ailleurs, puisqu'on a d'après la formule (70),
(— 1)« (— ^)" <p{x) = e«* "yè-"^ (p{x) d;r" il viendra /** ^,„-.x ^-ax ^p^^) d^ = db T (w) e«* y^-«* <p{o) dar« ( i5o)
selon que n est paire ou impaire ; ou bien en développant la fonction caractéristique (— ^) » et écrivant y^ au lieu de <p{jc)
série qui s'arrêtera à un nombre fini de termes, toutes les fois que y^ sera une fonction des puissances entières et positives de x.
Si l'on prend n négatif, ainsi qu'il est permis de le faire , d'après la théorie des fonctions complémentaires , il viendra encore
Soit par exemple y^=:smmx, on trouvera par cette dernière formule
rîZîlsinmxdx^—Ti-n) a- J '- ^:^?Z2^. 'i^+ etc.} J o x"-^^ ^ ' \ a 2.3 rt» J
2[/— 1 l' rt a ' )
Ce résultat qui , au premier abord , semble s'écarter de celui donné par la première des équations (i4:i), s'y ramène immédiatement en remplaçant les quantités a, w, par leurs valeurs pcos<p, psiiKp; ce qui donnera
„mi/ t —n<P\/' — ' n
{a+mi/-,)n-ia-m^/~i)''__^je ^ -e )=(a^+,««)î sir.«Arc(lg=-)
En faisant y =cos?»^, on aurait obtenu pareillement
/'"!Z!lcosw.rd.T = ï^^^{(«+'»V/-0''-{-(«--'»i/-i)4=r(-n)/>-cos/B^.
J O Xn+^ al J
Une simple intégration delà formule (i25^ multipliée par da, conduira encore à la suivante,
=— 1 «y» + ^ ^y. + ^ a V, + ^ d'yo + etc. ( i53)
La supposition de yx=^sva.mx^ fera disparaître tous les termes impairs de cette série, de sorte qu'il en résultera
On parviendrait de la même manière à
/'"e-flxcosȕa:if=ilog(41-) (i55)
42. Voici encore quelques théorèmes généraux qui peuvent être déduits des deux formules trouvées ci dessus (n." 38.)
y'^ e °^ s\nmxà.x-=: — ^— . / e-°^ cosmx Ax-=—^ — .
Substituons la caractéristique d à la quantité a , on en tirera de suite , pour toute fonction quelconque cp(*),
J"J'(p{a—'x) sin ma? div = (-^qiji) <P{^)
=iji— l!+i: — etc.U(«). (i56)
rn l m* m" i
ou bien, en prenant x négatif
f" * <3?(c6-{-ar} sin mx da? = ( "'.J (p{ct). {i5f)
y<T> (« — x) cos mx 6.x = {—— — ) <t(a)
/ <!?{c(,-^œ) cos ma? d^ r= (— i ) <p((x) ; ( i5g)
formules dont les applications n'offriront aucune difficulté chaque fois que la fonction (?(«) sera telle que son coefficient dififérentiel de l'ordre 71 puisse s'exprimer d'une manière générale.
Les résultats que nous venons d'obtenir sont susceptibles d'être transformés en intégrales ordinaires , ainsi qu'on va le voir. D'après la formule (65) on a
(— î— )y = e-^'^/e'^^y d^ , (i)y = e»»*ye-»«*yd^ ,
d'où l'on tire par addition et soustraction,
(i6o) ( ^^ ^)y = QmxJQ—mxy ^x — e-'»*ye»»^y d^.
Si l'on change m en mV^ — I , et qu'on remplace l'exponentielle e±*«*K— ' par sa valeur en fonctions circulaires , on trouvera , après une légère réduction ,
j j j , (-r^ — )y ^^^ cos mxhf cos mx ô,x + sin mxjy sin mx àx.
( — — — )y =: sin mxJy cos mx à.x — cos mxJy sin mx dx.
Donc , en appliquant ces valeurs aux formules ( i56) ( 1Ô8) , il en résultera
/ 4) (« — â?) sin mx à^x = sin maj cos mos (p(<x) du — cos mxj sin mot<p (a) d«. ' (i62)
/ 4)(<!6 — a7)coswa?da7==cosw<>y cosm«(p(«)d«-f-sinwo6ysinw«(î>,'<:e)d<«.
Les mêmes équations (i33) (i34) donneront encore, en écrivant successivement 0 et dl^ — 1 , à la place de m.
/"* e -«^ (e^^ -h e-*^) d^ = —^ , f^ e-«* (e^^ — e -^^) d^ = — iL ,
J o ^ ' a*— Si ^ o ^ ' rt»— 2)1
d'où l'on déduit par la théorie des caractéristiques, les équations suivantes
(i63) I e-<"^ McH-afl^ — l) — <^(« — ^1^ — 1) d.a:=:2l/ — l(~-l)<p(»)
dont les seconds membres peuvent être transformés eu intégrales ordinaires, en vertu des formules (i6o) (i6i).
Il est remarquable que les équations(i58)(i5g) conduisent d'une manière très simple aux théorèmes importans dus à Fourier, pour exprimer les fonctions arbitraires au moyen d'intégrales définies. (*)
En effet, en prenant c6 négatif, la première donnera
(p( — {c6-\-x))cosmxdx=i ( — i— ) <p( — a) d'ailleurs (i65)
/ <p(c6-\-x)cosmxdxz=z — ( 1-) ({)(«)
(*) Théorie delà chaleur chap. IX. L'illustre auteur y a démontré ses théorèmes par le passage du fini a l'infini. J'ignore si jusqu'ici quelque géomètre en ait donné une démonstration directe.
Supposons maintenant la fonction a? («*) telle que (Ç (<«) = ^ (~~**) î l^s deux dernières équations fourniront , en soustrayant la seconde de la première
y^^<p («H-j:) cos w^ d^ = (^j^) <f)(<«).
Multiplions chaque membre de celle ci par dm, et intégrons ensuite entre les limites o et oo ; il viendra , en observant que / " = î
<^{cc-\-x) dx/ cos mx dm = n <?(<») .
Donc en permutant les lettres *, a:,
/ <pict-{-x) daf cosmc6dm=Z7r^{x), (166)
Posons a>-\-x=:u, les limites de l'intégrale par rapport à «resteront les mêmes; on aura ainsi
<p(a?)=iy <p{u)dur cosmiu — a;) dm. (167)
Si Ton développe le terme cosm{u—x), et qu'on ait égard aux équations <p[u) COS mu du = 2/ <P(m) cos mu du ,
/oo (P(w) sin mu dw = o ,
qui résultent delà propriété supposée à la fonction (p , on obtiendra pour les fonctions de cette espèce
^(^) ^^ - / 4^W cos mw dtf / cos ma: dm
(168) = - / / <P(w) cos mw cos mar dw dm
TTj o J D
TfiÉORIE DES CARACTÉRISTIQUES. 81
Soit à présent 4/(/r) une fonction de x telle que ^{x)z=: — 4'^ — ^)> ^es formules (i65) donneront encore dans ce cas,
y^^^^C'^-^^) COS mx dx = (^q^) ^cc) ; d'où Ton déduira de même que ci-dessus ,
Mx)'=z~ I •<\^[u)àu I cos7w(w — x)Am. (^^^9)
Développant le terme cos»î(m — x), en ayant égard aux équations 4^(m) cos mM dw = o ,
I vJ'Cm) sinmw dM = 2 / 4'(m) sin mw dw ;
on en tirera
^J,^ar) = - / sin mec dm f ^^ii)smmudu
= - / / xJ'Cw) sinwîM sin wiardm dw. (170)
Et puisque toute fonction wF(a?) peut être considérée comme la somme des fonctions cp(^) , 4^^^)» les équations (167) (169) donneront évidemment , quelle que soit la fonction F{x) ,
F{^x) ^^- I F{u) du I cos m (m — x) dm , ( 1 7 ^ )
théorème qu'il s'agissait d'établir.
Nous croyons que ce qui précède suffira pour faire connaitre l'esprit delà théorie des caractéristiques , et la facilité qu'elle apporte dans le développement des fonctions , ainsi que dans l'évaluation d'une classe nombreuse d'intégrales définies. Mais les grands avantages de cette théorie se montrent surtout dans son application à l'intégration des équations linéaires aux différentielles totales et partielles. Les recherches
KOVT.SÉM. PRÉX. CLASSE DBL'iHSTIT. TOK. VK il
que nous avons entamées sur cette matière , formeront l'objet de deux mémoires subséqueus que nous nous proposons de soumettre également au jugement des géomètres , et auxquels le présent travail pourra servir d'introduction.
Septembre 1834.
