CHAPITRE I

DE l'intégration DES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES A DEUX VARIABLES.

1. En étendant aux équations diflférentielles linéaires les idées exposées dans notre mémoire sur la théorie des caractéristiques , nous avons été conduit à remarquer , que toute équation de ce genre et d'un ordre quelconque , peut être envisagée comme le résultat d'une certaine opération effectuée sur la fonction qui en représente l'intégrale première ; qu'il est de même de cette dernière par rapport à l'intégrale seconde, et ainsi de suite , de manière que l'équation proposée ne soit que le résultat d'une suite d'opérations semblables effectuées sur la fonction primitive qui en représente l'intégrale complète. Or, si l'on désigne ces diverses opérations par une même espèce de caractéristiques, il est évident que la composition de ces caractéristiques en forme de produit , offre un moyen bien simple d'énoncer une équation différentielle linéaire; et l'on concevra par là , que son intégration successive revient seulement à opérer la décomposition du produit dont il s'agit , afin de remonter par une suite d'opérations inverses et uniformes à l'expression de la fonction primitive. C'est ce qui va être éclairci par l'exposition suivante

de la théorie que nous avons établie à cet effet , et qui semble réunir à l'avantage de simplifier considérablement les procédés d'intégration employés jusqu'ici , celui d'indiquer en même tems la véritable source des difficultés qui se présentent dans l'intégration complète des équations différentielles, déjà à partir de celles du second ordre.

Afin de faire mieux saisir l'esprit de la méthode qui fait l'objet de ce mémoire, nous procéderons du simple au composé, en traitant d'abord les équations linéaires où les coefficiens des divers termes sont des quantités constantes , et ensuite celles où ces coefficiens sont fonctions de la variable indépendante. En conséquence nous diviserons ce chapitre en deux paragraphes distincts.

§ 1. Equcitions différentielles linéaires à coefficiens conslans.