l^.r «'+.r» ^„3jr ^,^i

Pareillement les équations (96) à (gg) donneront , après y avoir changé a en d I

yenxV-^ x^p-k-^ \ d>(a+.Tl/— 1 ) H-^(a— .ri/— 1 ) [ — ^ = ±— ^— w='P(e'"» — e-"^) 0(«— /») — 00 l^"^ "^ Jflz»-f-.r» Y — 1

/gnxl/-i .t;!/. {,p(a-|-.r 1/— 1 ) — 0(a— -r l/— 1 ) \ [^ . =: q: ;r w*^ "' (e"»" — e-'»") (?>(«— »i) d'où l'on tire, en prenant n négatif,

r^cos B.r .r^)"+44)(«-|-.rl/— 1) - -PC^-V— 4~r"T==='^ ^^""' m^P{e^'' + e--"») 0(«-«)

/Q° I 1 dr Tri/—! sîn/7.r .r^p |^(a+.ri/— 1 ) — (piot—x]/ - j ) } ^nr7^= ± -^^^ '«'''"' («""* — e~'^) ^(«•~'«)

Ces formules contiennent comme cas particuliers les suivantes qui repondent à l'hypothèse de % r= o

THÉORIE DES CARACTÉRISTIQTJES. 61

f^x^P^'i (p{cc+xi^— 1 )— (p {c6 ~x\^— 1 ) I -^==:±7rt^^ i in*P(^x—m)

selon que p est un nombre pair ou impair.

Si l'on change m en ml/' — l , ces deux dernières intégrales deviendront

(ii4)

r'^x'Pi-' ^.<p{ot-\-x[/—l)—(P{ci—x^—l) ~-=zv[/—lm'PÇ{<»—my/—\)

Soit/? = o; on aura en conséquence fj" J4)(ce+^l/-.l) H- 4)(*-^l/-l)j ^ = l<p{c^-m) (ll5)

' Et en prenant m=o ,

r^" U(*4-^l/— I)— (p(«— ^P^— i)j i^rrTTlX— 1 (pH (ug)

Il importe de faire remarquer ici que toutes les formules précédentes sont asujétties à la condition que <^{c6-hxV^ — i) ne devienne point infinie pour xz=i±oz; c'est ce qui résulte des équations (91) d'où elles ont été toutes déduites , et qui supposent nécessairement que coa ax , sinaa; restent toujours finies.

Nous ne nous occuperons pas dans ce moment des applications variées dont ces formules sont susceptibles , notre but n'ayant été que d'indiquer avec quelle facilité on est conduit à ces formules générales à l'aide delà théorie des caractéristiques, et en partant seulement de l'intégrale